Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đạo...

Phương pháp:
- Đồ thị hàm số y= f' ( x) đi qua các điểm có tọa độ là $\left( 0;0 \right);\left( 2;0 \right);\left( 1;-1 \right)$, lập hệ phương trình tìm
a, b, c.
- Đồ thị hàm số y= f( x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương nên hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=0 \\
& f'\left( x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm dương.
- Dựa vào đồ thị hàm số y= f' ( x) xác định các nghiệm của phương trình f' ( x) = 0 , từ đó suy ra nghiệm dương của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=0 \\
& f'\left( x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$, tức là suy ra nghiệm của phương trình f( x) = 0 .
- Thay nghiệm đó vào phương trình f( x) = 0 tìm hệ số d.
Cách giải:
Ta có $f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$
$f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ đi qua các điểm có tọa độ là $\left( 0;0 \right);\left( 2;0 \right);\left( 1;-1 \right)$ nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& 12a+4b+c=0 \\
& 3a+2b+c=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{3} \\
& b=-1\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+d \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.$
Đồ thị hàm số y= f( x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương nên hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=0 \\
& f'\left( x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm dương.
Mà phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt x= 0, x= 2 nên để hệ $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=0 \\
& f'\left( x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
có nghiệm dương thì x= 2 phải là nghiệm của hệ phương trình, do đó x= 2 cũng là nghiệm của phương trình f( x) = 0 hay $f\left( 2 \right)=0$. Khi đó ta có $\dfrac{8}{3}-4+d=0\Leftrightarrow d=\dfrac{4}{3}$.
Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $\dfrac{4}{3}$.