Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ là $-1...

Vì đồ thị hàm số $f\left(x\right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên $f\left(x\right)$ là hàm số bậc 3
$\Rightarrow a\ne 0.$
Từ giả thiết ta có: $f\left(x\right)=a(x+1)(x-{\displaystyle \frac{1}{3}})(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})\iff f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{6}}a(6x^3+x^2-4x+1).$
Khi đó: $y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{6}}a(18x^2+2x-4)=0\iff x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{73}}{18}}$
Suy ra đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục tung.
Từ đó ta có phương trình $f[\sin \left(x^2\right)]=f\left(0\right)\iff [\begin{array}{rl}& \sin \left(x^2\right)=a_1\in (-1;0)\left(1\right)\\ & \sin \left(x^2\right)=0\left(2\right)\\ & \sin \left(x^2\right)=a_2\in ({\displaystyle \frac{1}{2}};1]\left(3\right)\end{array}$
* Giải $\left(1\right).$
Vì $x\in [-\sqrt{\pi };\sqrt{\pi }]$ nên $x^2\in [0;\pi ]\Rightarrow \sin \left(x^2\right)\in [0;1].$ Do đó phương trình $\left(1\right)$ không có nghiệm thỏa mãn đề bài.
* $\left(2\right)\iff x^2=k\pi .$
Vì $x^2\in [0;\pi ]$ nên ta phải có $0\le k\pi \le k,\pi \in \mathbb{Z}\iff 0\le k\le 1,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \{0;1\}.$
Suy ra phương trình $\left(2\right)$ có 3 nghiệm thỏa mãn là: $x_1=-\sqrt{\pi };x_2=0;x_3=\sqrt{\pi }.$
* $\left(3\right)\iff [\begin{array}{rl}& x^2=\arcsin a_2+k2\pi \\ & x^2=\pi -\arcsin a_2+k2\pi \end{array},$ (với $\arcsin a_2\in [{\displaystyle \frac{\pi }{6}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]).$
Vì $x^2\in [0;\pi ]$ nên ta thấy phương trình $\left(3\right)$ có các nghiệm thỏa mãn là $x=\pm \sqrt{\arcsin a_2}$ và $x=\pm \sqrt{\pi -\arcsin a_2}.$
Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.