Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ là $-1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}$. Hỏi phương trình $f\left[ \sin \left( {{x}^{2}} \right) \right]=f\left( 0 \right)$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\sqrt{\pi };\sqrt{\pi } \right]$.
A. 3.
B. 5.
C. 7.
D. 9.
A. 3.
B. 5.
C. 7.
D. 9.
Vì đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên $f\left( x \right)$ là hàm số bậc 3
$\Rightarrow a\ne 0.$
Từ giả thiết ta có: $f\left( x \right)=a\left( x+1 \right)\left( x-\dfrac{1}{3} \right)\left( x-\dfrac{1}{2} \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{6}a\left( 6{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-4x+1 \right).$
Khi đó: $y'=\dfrac{1}{6}a\left( 18{{x}^{2}}+2x-4 \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm \sqrt{73}}{18}$
Suy ra đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục tung.
Từ đó ta có phương trình $f\left[ \sin \left( {{x}^{2}} \right) \right]=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sin \left( {{x}^{2}} \right)={{a}_{1}}\in \left( -1;0 \right)\left( 1 \right) \\
& \sin \left( {{x}^{2}} \right)=0\text{ }\left( 2 \right) \\
& \sin \left( {{x}^{2}} \right)={{a}_{2}}\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right]\text{ }\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
* Giải $\left( 1 \right).$
Vì $x\in \left[ -\sqrt{\pi };\sqrt{\pi } \right]$ nên ${{x}^{2}}\in \left[ 0;\pi \right]\Rightarrow \sin \left( {{x}^{2}} \right)\in \left[ 0;1 \right].$ Do đó phương trình $\left( 1 \right)$ không có nghiệm thỏa mãn đề bài.
* $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}=k\pi .$
Vì ${{x}^{2}}\in \left[ 0;\pi \right]$ nên ta phải có $0\le k\pi \le k,\pi \in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 0\le k\le 1,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \left\{ 0;1 \right\}.$
Suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có 3 nghiệm thỏa mãn là: ${{x}_{1}}=-\sqrt{\pi };{{x}_{2}}=0;{{x}_{3}}=\sqrt{\pi }.$
* $\left( 3 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\arcsin {{a}_{2}}+k2\pi \\
& {{x}^{2}}=\pi -\arcsin {{a}_{2}}+k2\pi \\
\end{aligned} \right., $ (với $ \arcsin {{a}_{2}}\in \left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2} \right]).$
Vì ${{x}^{2}}\in \left[ 0;\pi \right]$ nên ta thấy phương trình $\left( 3 \right)$ có các nghiệm thỏa mãn là $x=\pm \sqrt{\arcsin {{a}_{2}}}$ và $x=\pm \sqrt{\pi -\arcsin {{a}_{2}}}.$
Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
$\Rightarrow a\ne 0.$
Từ giả thiết ta có: $f\left( x \right)=a\left( x+1 \right)\left( x-\dfrac{1}{3} \right)\left( x-\dfrac{1}{2} \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{6}a\left( 6{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-4x+1 \right).$
Khi đó: $y'=\dfrac{1}{6}a\left( 18{{x}^{2}}+2x-4 \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm \sqrt{73}}{18}$
Suy ra đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục tung.
Từ đó ta có phương trình $f\left[ \sin \left( {{x}^{2}} \right) \right]=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sin \left( {{x}^{2}} \right)={{a}_{1}}\in \left( -1;0 \right)\left( 1 \right) \\
& \sin \left( {{x}^{2}} \right)=0\text{ }\left( 2 \right) \\
& \sin \left( {{x}^{2}} \right)={{a}_{2}}\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right]\text{ }\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
* Giải $\left( 1 \right).$
Vì $x\in \left[ -\sqrt{\pi };\sqrt{\pi } \right]$ nên ${{x}^{2}}\in \left[ 0;\pi \right]\Rightarrow \sin \left( {{x}^{2}} \right)\in \left[ 0;1 \right].$ Do đó phương trình $\left( 1 \right)$ không có nghiệm thỏa mãn đề bài.
* $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}=k\pi .$
Vì ${{x}^{2}}\in \left[ 0;\pi \right]$ nên ta phải có $0\le k\pi \le k,\pi \in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 0\le k\le 1,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \left\{ 0;1 \right\}.$
Suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có 3 nghiệm thỏa mãn là: ${{x}_{1}}=-\sqrt{\pi };{{x}_{2}}=0;{{x}_{3}}=\sqrt{\pi }.$
* $\left( 3 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\arcsin {{a}_{2}}+k2\pi \\
& {{x}^{2}}=\pi -\arcsin {{a}_{2}}+k2\pi \\
\end{aligned} \right., $ (với $ \arcsin {{a}_{2}}\in \left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2} \right]).$
Vì ${{x}^{2}}\in \left[ 0;\pi \right]$ nên ta thấy phương trình $\left( 3 \right)$ có các nghiệm thỏa mãn là $x=\pm \sqrt{\arcsin {{a}_{2}}}$ và $x=\pm \sqrt{\pi -\arcsin {{a}_{2}}}.$
Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án C.