Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)>0$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 1 \right)={{e}^{3}}$. Biết ${f}'\left( x \right)=\left( 2x-3 \right)f\left( x \right), \forall x\in \mathbb{R}$. Hỏi phương trình $f\left( x \right)={{e}^{2{{x}^{4}}-3x+4}}$ có bao nhiêu nghiệm
A. $4$.
B. $3$.
C. $2$.
D. $0$.
A. $4$.
B. $3$.
C. $2$.
D. $0$.
+) Sử dụng giả thiết $f(x)>0$ và liên tục $\forall x\in \mathbb{R}$, ta biến đổi:
${f}'\left( x \right)=\left( 2x-3 \right)f\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{f'(x)}{f(x)}=2x-3$ $\Rightarrow \ln f(x)={{x}^{2}}-3x+C$
$\Leftrightarrow f(x)={{e}^{{{x}^{2}}-3x+C}}$
+) Từ giả thiết $f(1)={{e}^{3}}\Leftrightarrow {{e}^{-2+C}}={{e}^{3}}\Leftrightarrow C=5$. Suy ra $f(x)={{e}^{{{x}^{2}}-3x+5}}$
+) Xét phương trình $f\left( x \right)={{e}^{2{{x}^{4}}-3x+4}}$ $\Leftrightarrow {{e}^{{{x}^{2}}-3x+5}}={{e}^{2{{x}^{4}}-3x+4}}\Leftrightarrow 2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-1=0$ $\Leftrightarrow x=\pm 1$.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
${f}'\left( x \right)=\left( 2x-3 \right)f\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{f'(x)}{f(x)}=2x-3$ $\Rightarrow \ln f(x)={{x}^{2}}-3x+C$
$\Leftrightarrow f(x)={{e}^{{{x}^{2}}-3x+C}}$
+) Từ giả thiết $f(1)={{e}^{3}}\Leftrightarrow {{e}^{-2+C}}={{e}^{3}}\Leftrightarrow C=5$. Suy ra $f(x)={{e}^{{{x}^{2}}-3x+5}}$
+) Xét phương trình $f\left( x \right)={{e}^{2{{x}^{4}}-3x+4}}$ $\Leftrightarrow {{e}^{{{x}^{2}}-3x+5}}={{e}^{2{{x}^{4}}-3x+4}}\Leftrightarrow 2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-1=0$ $\Leftrightarrow x=\pm 1$.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Đáp án C.