Cho hàm số $y=\dfrac{x}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi $A,B\left( {{x}_{A}}\ne {{x}_{B}} \right)$ là 2 điểm trên $\left( C \right)$ mà...

Hàm số $y=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Ta có: $y'=-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$
Gọi ${{x}_{A}}=m;{{x}_{B}}=n$ ( $m\ne n$ và $m:n\ne 1)\Rightarrow {{y}_{A}}=\dfrac{m}{m-1};{{y}_{B}}=\dfrac{n}{n-1}$
* Tiếp tuyến tại $A$ song son với tiếp tuyến tại $B\Leftrightarrow -\dfrac{1}{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}=-\dfrac{1}{{{\left( n-1 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}={{\left( n-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-1=n-1 \\
& m-1=-n+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=n\text{ (loa }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ i)} \\
& m+n=2 \\
\end{aligned} \right.$
* $AB=2\sqrt{2}\Rightarrow A{{B}^{2}}=8\Leftrightarrow {{\left( m-n \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{m}{m-1}-\dfrac{n}{n-1} \right)}^{2}}=8$
$\Leftrightarrow {{\left( m-n \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( m-n \right)}^{2}}}{{{\left[ mn-\left( m+n \right)+1 \right]}^{2}}}=8\Leftrightarrow {{\left( m+n \right)}^{2}}-4mn+\dfrac{{{\left( m+n \right)}^{2}}-4mn}{{{\left[ mn-\left( m+n \right)+1 \right]}^{2}}}=8\left( 1 \right)$
Thay $m+n=2$ vào $\left( 1 \right)$ ta được: $4-4mn+\dfrac{4-4mn}{{{\left( mn-1 \right)}^{2}}}=8\Leftrightarrow 4-4mn+\dfrac{-4\left( mn-1 \right)}{{{\left( mn-1 \right)}^{2}}}=8$
$\Leftrightarrow 1-mn-\dfrac{1}{mn-1}=2\Leftrightarrow -{{\left( mn-1 \right)}^{2}}-1=2\left( mn-1 \right)\Leftrightarrow -\left[ {{\left( mn \right)}^{2}}-2nm+1 \right]-1=2nm-2$
$\Leftrightarrow {{\left( -mn \right)}^{2}}+2mn-1-1=2mn-2\Leftrightarrow -{{\left( mn \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow mn=0\Rightarrow {{x}_{A}}.{{x}_{B}}=0$
Vậy tích ${{x}_{A}}.{{x}_{B}}=0.$