Cho hàm số $y=\dfrac{x+b}{ax-2}ab\ne -2.$ Biết rằng $a$ và $b$ là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A\left( 1;-2...

Phương pháp:
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $A\left( 1;-2 \right)$ song song với đường thẳng $d:3x+y-4=0$ nên $y'\left( 1 \right)=-3.$
- Điểm $A\left( 1;-2 \right)$ thuộc đồ thị hàm số nên thay điểm $A$ vào hàm số.
- Giải hệ 2 phương trình bằng phương pháp thế, tìm $a,b$ và tính $a-3b.$
Cách giải:
Ta có $y'=\dfrac{-2-ab}{{{\left( ax-2 \right)}^{2}}}\Rightarrow y'\left( 1 \right)=\dfrac{-2-ab}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}}.$
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:3x+y-4=0$ nên: $y'\left( 1 \right)=-3\Leftrightarrow \dfrac{-2-ab}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}}=-3.$
Mặt khác $A\left( 1;-2 \right)$ thuộc đồ thị hàm số nên $-2=\dfrac{1+b}{a-2}\Leftrightarrow b=-2a+3.$
Khi đó ta có:
$\dfrac{-2-ab}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}}=-3\Leftrightarrow -2-a\left( -2a+3 \right)=-3{{a}^{2}}+12a-12\left( a\ne 2 \right)$
$\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}-15a+10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=2\left( ktm \right) \\
& a=1\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với $a=1\Rightarrow b=1\Rightarrow a-3b=-2.$