Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+3}{x+1} \left( C \right)$. Đường thẳng $d: y=2x+m$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $M, N$ và $MN$ nhỏ nhất khi giá trị của $m$ thuộc khoảng nào?
A. $m\in \left( -\infty ; 0 \right]$.
B. $m\in \left( \dfrac{3}{2} ; \dfrac{5}{2} \right)$.
C. $m\in \left[ \dfrac{5}{2} ; +\infty \right)$.
D. $m\in \left( 0 ; \dfrac{3}{2} \right]$.
A. $m\in \left( -\infty ; 0 \right]$.
B. $m\in \left( \dfrac{3}{2} ; \dfrac{5}{2} \right)$.
C. $m\in \left[ \dfrac{5}{2} ; +\infty \right)$.
D. $m\in \left( 0 ; \dfrac{3}{2} \right]$.
Phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{x+3}{x+1}=2x+m\Rightarrow 2{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+m-3=0 ;\left( x\ne -1 \right) \left( 1 \right)$.
Đường thẳng $d$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $M, N$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}} ; {{x}_{2}}\ne -1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}-6m+25>0 \\
& 2.{{\left( -1 \right)}^{2}}+\left( m+1 \right)\left( -1 \right)+m-3\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \forall m\in \mathbb{R}$.
Gọi $M\left( {{x}_{1}} ; 2{{x}_{1}}+m \right)$ và $N\left( {{x}_{2}} ; 2{{x}_{2}}+m \right)$.
Theo Định lí Viét ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{m+1}{2} ; {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{m-3}{2}$.
Ta có $M{{N}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{x}_{2}}-2{{x}_{1}} \right)}^{2}}=5\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]$
$=\dfrac{5}{4}\left( {{m}^{2}}-6m+25 \right)=\dfrac{5}{4}.\left[ {{\left( m-3 \right)}^{2}}+16 \right]\ge 20$.
Do đó $MN$ nhỏ nhất bằng khi $m=3$.
Đường thẳng $d$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $M, N$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}} ; {{x}_{2}}\ne -1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}-6m+25>0 \\
& 2.{{\left( -1 \right)}^{2}}+\left( m+1 \right)\left( -1 \right)+m-3\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \forall m\in \mathbb{R}$.
Gọi $M\left( {{x}_{1}} ; 2{{x}_{1}}+m \right)$ và $N\left( {{x}_{2}} ; 2{{x}_{2}}+m \right)$.
Theo Định lí Viét ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{m+1}{2} ; {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{m-3}{2}$.
Ta có $M{{N}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{x}_{2}}-2{{x}_{1}} \right)}^{2}}=5\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]$
$=\dfrac{5}{4}\left( {{m}^{2}}-6m+25 \right)=\dfrac{5}{4}.\left[ {{\left( m-3 \right)}^{2}}+16 \right]\ge 20$.
Do đó $MN$ nhỏ nhất bằng khi $m=3$.
Đáp án C.