Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{x+1}\left( C \right)$ và đường thẳng $\left( d \right):y=x+m.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ thuộc khoảng $\left(...

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( C \right)$ là
$\dfrac{x+2}{x+1}=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+m-2=0\left( * \right)\left( x\ne -1 \right)$
Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm về hai phía trục hoành
$\Leftrightarrow $ PT (*) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\ne -1$ và ${{y}_{1}}{{y}_{2}}<0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-4\left( m-2 \right)>0 \\
& {{\left( -1 \right)}^{2}}+m\left( -1 \right)+m-2\ne 0 \\
& \left( {{x}_{1}}+m \right)\left( {{x}_{2}}+m \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-4m+8>0,\forall m \\
& -1\ne 0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}+m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m-2+m\left( -m \right)+{{m}^{2}}<0$
$\Leftrightarrow m<2$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left( -10;10 \right)$ nên $m\in \left\{ -9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1 \right\}.$
Vậy có 11 giá trị.