Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ có đồ thị là $\left( C \right)$...

Phương pháp:
- Gọi M $\left( x;\dfrac{x+1}{x-1} \right)$ là điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$
- Tính khoảng cách từ Mđến hai trục tọa độ. $(M\left( a;b \right)$ thì $d\left( M;Ox \right)=\left| {{y}_{M}} \right|,d\left( M;Oy \right)=\left| {{x}_{M}} \right|).~$
- Áp dụng tính chất $\left| a \right|+\left| b \right|\ge \left| a+b \right|$. Dấu bằng xảy ra khi ab≥ 0 .
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| a+b \right|$ rồi kết luận.
Cách giải:
Đặt $M\left( x,\dfrac{x+1}{x-1} \right)$ ∈ ( C) .
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& d\left( M;Oy \right)=\left| {{y}_{M}} \right|=\left| \dfrac{x+1}{x-1} \right| \\
& d\left( M;Oy \right)=\left| {{x}_{M}} \right|=\left| x \right| \\
\end{aligned} \right.$
Tổng khoảng cách từ Mđến hai trục tọa độ là $S=\left| x \right|+\left| \dfrac{x+1}{x-1} \right|\ge \left| x+\dfrac{x+1}{x-1} \right|$
Dấu bằng xảy ra khi $x.\dfrac{x+1}{x-1}\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>1 \\
& -1\le x\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $f\left( x \right)=x+\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x-1}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-2x-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1-\sqrt{2} \$/I]
& x=1+\sqrt{2} \$/I]
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\left| x+\dfrac{x+1}{x-1} \right|\ge \left| 2-2\sqrt{2} \right|=2\sqrt{2}-2$
Dấu bằng xảy ra khi $x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\Rightarrow {{x}_{M}}+{{y}_{M}}=2-2\sqrt{2}$