Cho hàm số $y=\dfrac{x-1}{2x+1}.$ Tính tổng giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số trên đoạn $\left[ 0;2 \right].$

Phương pháp:
- Chứng minh hàm số đã cho đơn điệu trên $\left[ 0;2 \right],$ từ đó suy ra hàm số đạt GTLN, GTNN tại các đầu mút.
- Tìm $M,m$ và tính tổng.
Cách giải:
Xét hàm số $y=\dfrac{x-1}{2x+1}$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;2 \right].$
Ta có $y'=\dfrac{3}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ 0;2 \right]$ nên hàm số $y=\dfrac{x-1}{2x+1}$ đồng biến trên đoạn $\left[ 0;2 \right].$
Suy ra $M=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 2 \right)=\dfrac{1}{5},m=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 0 \right)=-1.$
Vậy $M+m=\dfrac{1}{5}+\left( -1 \right)=\dfrac{4}{5}.$