Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{x-1}{2x+1}}.$ Tính tổng giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số trên đoạn $[0;2].$

Phương pháp:
- Chứng minh hàm số đã cho đơn điệu trên $[0;2],$ từ đó suy ra hàm số đạt GTLN, GTNN tại các đầu mút.
- Tìm $M,m$ và tính tổng.
Cách giải:
Xét hàm số $y={\displaystyle \frac{x-1}{2x+1}}$ liên tục trên đoạn $[0;2].$
Ta có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{3}{{(2x+1)}^2}}>0,\mathrm{\forall }x\in [0;2]$ nên hàm số $y={\displaystyle \frac{x-1}{2x+1}}$ đồng biến trên đoạn $[0;2].$
Suy ra $M=\underset{[0;2]}{max}y=y\left(2\right)={\displaystyle \frac{1}{5}},m=\underset{[0;2]}{min}y=y\left(0\right)=-1.$
Vậy $M+m={\displaystyle \frac{1}{5}}+(-1)={\displaystyle \frac{4}{5}}.$