Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{1-x}$ và điểm $I\left( 1;-1 \right)$. Tìm tất cả các điểm M nằm trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với IM.
A. $M\left( 1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2} \right)$ và $M\left( 1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2} \right)$.
B. $M\left( -1;0 \right)$ và $M\left( 3;-2 \right)$.
C. $M\left( \sqrt{2};-3-2\sqrt{2} \right)$ và $M\left( -\sqrt{2};2\sqrt{2}-3 \right)$.
D. $M\left( 2;-3 \right)$ và $M\left( 0;1 \right)$.
A. $M\left( 1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2} \right)$ và $M\left( 1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2} \right)$.
B. $M\left( -1;0 \right)$ và $M\left( 3;-2 \right)$.
C. $M\left( \sqrt{2};-3-2\sqrt{2} \right)$ và $M\left( -\sqrt{2};2\sqrt{2}-3 \right)$.
D. $M\left( 2;-3 \right)$ và $M\left( 0;1 \right)$.
Phương pháp giải:
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là $y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$.
- Đường thẳng $y=ax+b$ vuông góc với vecto $\overrightarrow{IM}\left( u;v \right)$ khi và chỉ khi vtcp của đường thẳng $y=ax+b$ vuông góc với vecto $\overrightarrow{IM}\left( u;v \right)$.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}};\dfrac{{{x}_{0}}+1}{1-{{x}_{0}}} \right)\left( {{x}_{0}}\ne 1 \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+1}{1-x}$.
Ta có $y=\dfrac{x+1}{1-x}\Rightarrow {y}'=\dfrac{2}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}$ nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M\left( {{x}_{0}};\dfrac{{{x}_{0}}+1}{1-{{x}_{0}}} \right)$ có hệ số góc là $k={y}'\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{2}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}$.
⇒ Phương trình tiếp tuyến tại M là: $y=\dfrac{2}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{{{x}_{0}}+1}{1-{{x}_{0}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{2}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}x-y-\dfrac{2{{x}_{0}}}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}+\dfrac{{{x}_{0}}+1}{1-{{x}_{0}}}=0$, có 1 VTCP là $\vec{u}=\left( 1;\dfrac{2}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{2}}} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{IM}=\left( {{x}_{0}}-1;\dfrac{{{x}_{0}}+1}{1-{{x}_{0}}}+1 \right)=\left( {{x}_{0}}-1;\dfrac{2}{1-{{x}_{0}}} \right)$.
Vì tiếp tuyến tại M vuông góc với IM nên $\vec{u}.\overrightarrow{IM}=0$.
$\Leftrightarrow \left( {{x}_{0}}-1 \right)+\dfrac{4}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{3}}}=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{3}}}=1-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{4}}=4$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
1-{{x}_{0}}=\sqrt{2} \\
1-{{x}_{0}}=-\sqrt{2} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{0}}=1-\sqrt{2} \\
{{x}_{0}}=1+\sqrt{2} \\
\end{array} \right.$
⇒ $M\left( 1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2} \right)$ và $M\left( 1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2} \right)$.
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là $y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$.
- Đường thẳng $y=ax+b$ vuông góc với vecto $\overrightarrow{IM}\left( u;v \right)$ khi và chỉ khi vtcp của đường thẳng $y=ax+b$ vuông góc với vecto $\overrightarrow{IM}\left( u;v \right)$.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}};\dfrac{{{x}_{0}}+1}{1-{{x}_{0}}} \right)\left( {{x}_{0}}\ne 1 \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+1}{1-x}$.
Ta có $y=\dfrac{x+1}{1-x}\Rightarrow {y}'=\dfrac{2}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}$ nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M\left( {{x}_{0}};\dfrac{{{x}_{0}}+1}{1-{{x}_{0}}} \right)$ có hệ số góc là $k={y}'\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{2}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}$.
⇒ Phương trình tiếp tuyến tại M là: $y=\dfrac{2}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{{{x}_{0}}+1}{1-{{x}_{0}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{2}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}x-y-\dfrac{2{{x}_{0}}}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}+\dfrac{{{x}_{0}}+1}{1-{{x}_{0}}}=0$, có 1 VTCP là $\vec{u}=\left( 1;\dfrac{2}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{2}}} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{IM}=\left( {{x}_{0}}-1;\dfrac{{{x}_{0}}+1}{1-{{x}_{0}}}+1 \right)=\left( {{x}_{0}}-1;\dfrac{2}{1-{{x}_{0}}} \right)$.
Vì tiếp tuyến tại M vuông góc với IM nên $\vec{u}.\overrightarrow{IM}=0$.
$\Leftrightarrow \left( {{x}_{0}}-1 \right)+\dfrac{4}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{3}}}=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{3}}}=1-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{\left( 1-{{x}_{0}} \right)}^{4}}=4$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
1-{{x}_{0}}=\sqrt{2} \\
1-{{x}_{0}}=-\sqrt{2} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{0}}=1-\sqrt{2} \\
{{x}_{0}}=1+\sqrt{2} \\
\end{array} \right.$
⇒ $M\left( 1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2} \right)$ và $M\left( 1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2} \right)$.
Đáp án A.