Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{x+1}{1-x}}$ và điểm $I(1;-1)$. Tìm tất cả các điểm M nằm trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc...

Phương pháp giải:
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $M(x_0;y_0)$ là $y=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)+y_0$.
- Đường thẳng $y=ax+b$ vuông góc với vecto $\overrightarrow{IM}(u;v)$ khi và chỉ khi vtcp của đường thẳng $y=ax+b$ vuông góc với vecto $\overrightarrow{IM}(u;v)$.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$.
Gọi $M(x_0;{\displaystyle \frac{x_0+1}{1-x_0}})(x_0\ne 1)$ thuộc đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{x+1}{1-x}}$.
Ta có $y={\displaystyle \frac{x+1}{1-x}}\Rightarrow y^{\prime }={\displaystyle \frac{2}{{(1-x)}^2}}$ nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M(x_0;{\displaystyle \frac{x_0+1}{1-x_0}})$ có hệ số góc là $k=y^{\prime }\left(x_0\right)={\displaystyle \frac{2}{{(1-x_0)}^2}}$.
⇒ Phương trình tiếp tuyến tại M là: $y={\displaystyle \frac{2}{{(1-x_0)}^2}}(x-x_0)+{\displaystyle \frac{x_0+1}{1-x_0}}$ $\iff {\displaystyle \frac{2}{{(1-x_0)}^2}}x-y-{\displaystyle \frac{2x_0}{{(1-x_0)}^2}}+{\displaystyle \frac{x_0+1}{1-x_0}}=0$, có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=(1;{\displaystyle \frac{2}{{(1-x_0)}^2}})$.
Ta có: $\overrightarrow{IM}=(x_0-1;{\displaystyle \frac{x_0+1}{1-x_0}}+1)=(x_0-1;{\displaystyle \frac{2}{1-x_0}})$.
Vì tiếp tuyến tại M vuông góc với IM nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{IM}=0$.
$\iff (x_0-1)+{\displaystyle \frac{4}{{(1-x_0)}^3}}=0$ $\iff {\displaystyle \frac{4}{{(1-x_0)}^3}}=1-x_0\iff {(1-x_0)}^4=4$
$\iff [\begin{array}{l}1-x_0=\sqrt{2}\\ 1-x_0=-\sqrt{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}_0=1-\sqrt{2}\\ x_0=1+\sqrt{2}\end{array}$
⇒ $M(1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2})$ và $M(1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2})$.