Cho hàm số $y=\dfrac{mx-18}{x-2m}.$ Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty...

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2m \right\}.$
Ta có $y'=\dfrac{18-2{{m}^{2}}}{{{\left( x-2m \right)}^{2}}}.$
Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y'>0,\forall x\in \left( 2;+\infty \right) \\
& 2m\notin \left( 2;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{18-2{{m}^{2}}}{{{\left( x-2m \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( 2;+\infty \right) \\
& 2m\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 18-2{{m}^{2}}>0 \\
& m\le 1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3<m<3 \\
& m\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -3<m\le 1.$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2;-1;0;1 \right\}$ suy ra $S=\left\{ -2;-1;0;1 \right\}.$
Vậy tổng các phần tử của tập hợp $S$ bằng $-2+\left( -1 \right)+0+1=-2.$