Cho hàm số $y=\dfrac{m\sin x+1}{\cos x+2}$. Có bao nhiêu giá trị...

Vì $\cos x+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$.
Ta có: $y=\dfrac{m\sin x+1}{\cos x+2}\Leftrightarrow m\sin x-y\cos x=2y-1$ (1)
Vì phương trình (1) có nghiệm nên:
${{m}^{2}}+{{y}^{2}}\ge {{\left( 2y-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}-4y+1-{{m}^{2}}\le 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{3{{m}^{2}}+1}}{3}\le y\le \dfrac{2+\sqrt{3{{m}^{2}}+1}}{3}$
Vậy GTNN của $y$ bằng: $\dfrac{2-\sqrt{3{{m}^{2}}+1}}{3}$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{3{{m}^{2}}+1}}{3}<-1$
$\Leftrightarrow \sqrt{3{{m}^{2}}+1}>5$
$\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+1>25$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}>8$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>2\sqrt{2} \\
& m<-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vì$\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -5;5 \right] \\
\end{aligned} \right. $ nên $ m\in \left\{ -5;-4;-3;3;4;5 \right\}$.
Vậy có $6$ giá trị nguyên của $m$ thoả mãn bài ra.