Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{-\cos 4x+\left| \sin 2x \right|+2}{\left| \sin 2x \right|+1}.$ Gọi $M$ là giá trị lớn nhất và $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Khi đó $\dfrac{M}{m}$ bằng
A. $4$.
B. $5$.
C. $\text{3}$.
D. $2$.
A. $4$.
B. $5$.
C. $\text{3}$.
D. $2$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y=\dfrac{2{{\sin }^{2}}2x+\left| \sin 2x \right|+1}{\left| \sin 2x \right|+1}.$
Đặt $t=\left| \sin 2x \right|,\ 0\le t\le 1$ $\Rightarrow y=f\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}+t+1}{t+1}$ liên tục trên $\left[ 0; 1 \right]$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}+4t}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$. Đạo hàm ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=-2\notin \left( 0;1 \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow f\left( 0 \right)=1 ; f\left( 1 \right)=2$
Vậy $m=\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} y=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 0 \right)=1$ và $M=\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }} y=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=2$ $\Rightarrow \dfrac{M}{m}=2$.
Đặt $t=\left| \sin 2x \right|,\ 0\le t\le 1$ $\Rightarrow y=f\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}+t+1}{t+1}$ liên tục trên $\left[ 0; 1 \right]$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}+4t}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$. Đạo hàm ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=-2\notin \left( 0;1 \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow f\left( 0 \right)=1 ; f\left( 1 \right)=2$
Vậy $m=\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} y=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 0 \right)=1$ và $M=\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }} y=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=2$ $\Rightarrow \dfrac{M}{m}=2$.
Đáp án D.