Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d} \left( a.c\ne 0 \right)$ có đồ thị là đường cong $\left( C \right)$ như hình vẽ dưới đây. Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ và $\left( {{C}'} \right)$ là đồ thị hàm số $y=\left| \dfrac{ax+b}{cx+d} \right|$. Đặt ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $\left( {{C}'} \right)$ và hai trục tọa độ $Ox, Oy$ ; ${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( {{C}'} \right)$, $\Delta $ và đường thẳng $y=1$. Khi đó tỷ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 1 ; 2 \right)$.
B. $\left( 3 ; 5 \right)$.
C. $\left( 0 ; 1 \right)$.
D. $\left( 8 ; 9 \right)$.
B. $\left( 3 ; 5 \right)$.
C. $\left( 0 ; 1 \right)$.
D. $\left( 8 ; 9 \right)$.
Từ đồ thị hàm số, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{d}{c}=1 \\
& \dfrac{a}{c}=1 \\
& y\left( -1 \right)=0\Leftrightarrow b-a=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=b=c=-d$
Ta chọn $a=1\Rightarrow \left( C \right): y=f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{x-1}$.
Khi đó ${{S}_{1}}=\int\limits_{-1}^{0}{\left| \dfrac{x+1}{x-1} \right|dx=-}\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{x+1}{x-1}dx}=-\int\limits_{-1}^{0}{\left( 1+\dfrac{2}{x-1} \right)dx=-\left( x+2\ln \left| x-1 \right| \right)}\left| \begin{aligned}
& 0 \\
& -1 \\
\end{aligned} \right.=2\ln 2-1$.
Ta có: ${y}'=\dfrac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}'\left( -1 \right)=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left( \Delta \right): y=-\dfrac{1}{2}\left( x+1 \right)+0\Leftrightarrow \left( \Delta \right): y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$.
Diện tích ${{S}_{2}}$ là diện tích giới hạn bởi $\left( {{C}'} \right)$, đường thẳng $\Delta $ và đường thẳng $y=1$.
Ta có: ${{S}_{2}}={{S}_{3}}+{{S}_{4}}=\dfrac{1}{2}.2.1+1-{{S}_{1}}=1+1-\left( 2\ln 2-1 \right)=3-2\ln 2$.
Vậy tỷ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{2\ln 2-1}{3-2\ln 2}\approx 0,239$.
& -\dfrac{d}{c}=1 \\
& \dfrac{a}{c}=1 \\
& y\left( -1 \right)=0\Leftrightarrow b-a=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=b=c=-d$
Ta chọn $a=1\Rightarrow \left( C \right): y=f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{x-1}$.
Khi đó ${{S}_{1}}=\int\limits_{-1}^{0}{\left| \dfrac{x+1}{x-1} \right|dx=-}\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{x+1}{x-1}dx}=-\int\limits_{-1}^{0}{\left( 1+\dfrac{2}{x-1} \right)dx=-\left( x+2\ln \left| x-1 \right| \right)}\left| \begin{aligned}
& 0 \\
& -1 \\
\end{aligned} \right.=2\ln 2-1$.
Ta có: ${y}'=\dfrac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}'\left( -1 \right)=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left( \Delta \right): y=-\dfrac{1}{2}\left( x+1 \right)+0\Leftrightarrow \left( \Delta \right): y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$.
Diện tích ${{S}_{2}}$ là diện tích giới hạn bởi $\left( {{C}'} \right)$, đường thẳng $\Delta $ và đường thẳng $y=1$.
Vậy tỷ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{2\ln 2-1}{3-2\ln 2}\approx 0,239$.
Đáp án C.