Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{2x-{{m}^{2}}}{x+1}$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$, trong đó $m$ là tham số thực. Đường thẳng $d:y=m-x$ cắt $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại hai điểm $A({{x}_{A}};{{y}_{A}}),B({{x}_{B}};{{y}_{B}})$ với ${{x}_{A}}<{{x}_{B}}$ ; đường thẳng ${d}':y=2-m-x$ cắt $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại hai điểm $C({{x}_{C}};{{y}_{C}}),D({{x}_{D}};{{y}_{D}})$ với ${{x}_{C}}<{{x}_{D}}$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để ${{x}_{A}}.{{x}_{D}}=-3$. Số phần tử của tập $S$ là
A. $0$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $3$.
A. $0$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $3$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{m}} \right)$ và $d$
$\dfrac{2x-{{m}^{2}}}{x+1}=m-x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-(m-3)x-{{m}^{2}}-m=0$ (1)
Đường thẳng $d$ cắt $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ $\Leftrightarrow $ pt(1) có hai nghiệm phân biệt khác $-1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1+(m-3)-{{m}^{2}}-m\ne 0 \\
& \Delta ={{(m-3)}^{2}}+4{{m}^{2}}+4m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+2\ne 0 \\
& 5{{m}^{2}}-2m+9>0 \\
\end{aligned} \right. $ (luôn đúng với$ \forall m$)
Do ${{x}_{A}}<{{x}_{B}}$ nên ${{x}_{A}}=\dfrac{m-3-\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}}{2}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{m}} \right)$ và ${d}'$
$\dfrac{2x-{{m}^{2}}}{x+1}=2-m-x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+(m+1)x-{{m}^{2}}+m-2=0$ (2)
Đường thẳng ${d}'$ cắt $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại hai điểm phân biệt $C,D$ $\Leftrightarrow $ pt(2) có hai nghiệm phân biệt khác $-1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-(m+1)-{{m}^{2}}+m-2\ne 0 \\
& \Delta ={{(m+1)}^{2}}+4{{m}^{2}}-4m+8>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+2\ne 0 \\
& 5{{m}^{2}}-2m+9>0 \\
\end{aligned} \right. $ (luôn đúng với$ \forall m$)
Do ${{x}_{C}}<{{x}_{D}}$ nên ${{x}_{D}}=\dfrac{-(m+1)+\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}}{2}$
Ta có ${{x}_{A}}.{{x}_{D}}=-3\Leftrightarrow \dfrac{m-3-\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}}{2}.\dfrac{-(m+1)+\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}}{2}=-3$
$\Leftrightarrow \left[ m-3-\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9} \right]\left[ (m+1)-\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9} \right]=12$ $\Leftrightarrow 6{{m}^{2}}-4m-6-2(m-1)\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}=0$
$\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-2m+9-2(m-1)\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}+{{m}^{2}}-2m+1=16$
$\Leftrightarrow {{\left[ \sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}-(m-1) \right]}^{2}}=16\Leftrightarrow \sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}-(m-1)=4$ (do $\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}>(m-1)$
với $\forall m$ )$\Leftrightarrow \sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}=m+3\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -3 \\
& 5{{m}^{2}}-2m+9={{(m+3)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$.
$\dfrac{2x-{{m}^{2}}}{x+1}=m-x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-(m-3)x-{{m}^{2}}-m=0$ (1)
Đường thẳng $d$ cắt $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ $\Leftrightarrow $ pt(1) có hai nghiệm phân biệt khác $-1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1+(m-3)-{{m}^{2}}-m\ne 0 \\
& \Delta ={{(m-3)}^{2}}+4{{m}^{2}}+4m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+2\ne 0 \\
& 5{{m}^{2}}-2m+9>0 \\
\end{aligned} \right. $ (luôn đúng với$ \forall m$)
Do ${{x}_{A}}<{{x}_{B}}$ nên ${{x}_{A}}=\dfrac{m-3-\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}}{2}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{m}} \right)$ và ${d}'$
$\dfrac{2x-{{m}^{2}}}{x+1}=2-m-x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+(m+1)x-{{m}^{2}}+m-2=0$ (2)
Đường thẳng ${d}'$ cắt $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại hai điểm phân biệt $C,D$ $\Leftrightarrow $ pt(2) có hai nghiệm phân biệt khác $-1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-(m+1)-{{m}^{2}}+m-2\ne 0 \\
& \Delta ={{(m+1)}^{2}}+4{{m}^{2}}-4m+8>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+2\ne 0 \\
& 5{{m}^{2}}-2m+9>0 \\
\end{aligned} \right. $ (luôn đúng với$ \forall m$)
Do ${{x}_{C}}<{{x}_{D}}$ nên ${{x}_{D}}=\dfrac{-(m+1)+\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}}{2}$
Ta có ${{x}_{A}}.{{x}_{D}}=-3\Leftrightarrow \dfrac{m-3-\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}}{2}.\dfrac{-(m+1)+\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}}{2}=-3$
$\Leftrightarrow \left[ m-3-\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9} \right]\left[ (m+1)-\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9} \right]=12$ $\Leftrightarrow 6{{m}^{2}}-4m-6-2(m-1)\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}=0$
$\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-2m+9-2(m-1)\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}+{{m}^{2}}-2m+1=16$
$\Leftrightarrow {{\left[ \sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}-(m-1) \right]}^{2}}=16\Leftrightarrow \sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}-(m-1)=4$ (do $\sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}>(m-1)$
với $\forall m$ )$\Leftrightarrow \sqrt{5{{m}^{2}}-2m+9}=m+3\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -3 \\
& 5{{m}^{2}}-2m+9={{(m+3)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án B.