Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{2x-2}{x-2}$ có đồ thị là $\left( C \right),M$ là điểm thuộc $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt hai đường tiệm cận của $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ thỏa mãn $AB=2\sqrt{5}.$ Gọi S là tổng các hoành độ của tất cả các điểm M thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của S.
A. 6
B. 5
C. 8
D. 7
A. 6
B. 5
C. 8
D. 7
Phương pháp:
- Tìm 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Gọi $M\left( m;\dfrac{2m-2}{m-2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M.
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x={{x}_{0}}$ là $y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right).$
- Tìm giao điểm $A,B$ của tiếp tuyến với 2 đường tiệm cận.
- Tính độ dài đoạn thẳng $AB:AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}.$
- Giải phương trình tìm $m,$ từ đó tính $S.$
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.$ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là $x=2$ và $y=2.$
Ta có $y'=\dfrac{-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}.$ Gọi $M\left( m;\dfrac{2m-2}{m-2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến $d$ của $\left( C \right)$ tại $M:y=\dfrac{-2}{{{\left( m-2 \right)}^{2}}}\left( x-m \right)+\dfrac{2m-2}{m-2}.$
Cho $x=2\Rightarrow y=\dfrac{-2}{{{\left( m-2 \right)}^{2}}}\left( 2-m \right)+\dfrac{2m-2}{m-2}\Leftrightarrow y=\dfrac{2}{m-2}+\dfrac{2m-2}{m-2}=\dfrac{2m}{m-2}.$
$\Rightarrow $ Giao điểm của $d$ và đường thẳng $x=2$ là: $A\left( 2;\dfrac{2m}{m-2} \right).$
Cho $y=2\Rightarrow \dfrac{-2}{{{\left( m-2 \right)}^{2}}}\left( x-m \right)+\dfrac{2m-2}{m-2}=2.$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow -2\left( x-m \right)+\left( 2m-2 \right)\left( m-2 \right)=2{{\left( m-2 \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow -2x+2m+2{{m}^{2}}-6m+4=2{{m}^{2}}-8m+8 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow 2x=4m-4\Leftrightarrow x=2m-2$
$\Rightarrow $ Giao điểm của $d$ và đường thẳng $y=2$ là $B\left( 2m-2;2 \right).$
Ta có: $AB=2\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( 2m-4 \right)}^{2}}+{{\left( 2-\dfrac{2m}{m-2} \right)}^{2}}=20$
$\Leftrightarrow 4{{\left( m-2 \right)}^{2}}+\dfrac{16}{{{\left( m-2 \right)}^{2}}}=20$
$\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{4}}-5{{\left( m-2 \right)}^{2}}+4=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}=1 \\
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=1 \\
& m=4 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $S=3+1+4+0=8.$
- Tìm 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Gọi $M\left( m;\dfrac{2m-2}{m-2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M.
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x={{x}_{0}}$ là $y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right).$
- Tìm giao điểm $A,B$ của tiếp tuyến với 2 đường tiệm cận.
- Tính độ dài đoạn thẳng $AB:AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}.$
- Giải phương trình tìm $m,$ từ đó tính $S.$
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.$ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là $x=2$ và $y=2.$
Ta có $y'=\dfrac{-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}.$ Gọi $M\left( m;\dfrac{2m-2}{m-2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến $d$ của $\left( C \right)$ tại $M:y=\dfrac{-2}{{{\left( m-2 \right)}^{2}}}\left( x-m \right)+\dfrac{2m-2}{m-2}.$
Cho $x=2\Rightarrow y=\dfrac{-2}{{{\left( m-2 \right)}^{2}}}\left( 2-m \right)+\dfrac{2m-2}{m-2}\Leftrightarrow y=\dfrac{2}{m-2}+\dfrac{2m-2}{m-2}=\dfrac{2m}{m-2}.$
$\Rightarrow $ Giao điểm của $d$ và đường thẳng $x=2$ là: $A\left( 2;\dfrac{2m}{m-2} \right).$
Cho $y=2\Rightarrow \dfrac{-2}{{{\left( m-2 \right)}^{2}}}\left( x-m \right)+\dfrac{2m-2}{m-2}=2.$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow -2\left( x-m \right)+\left( 2m-2 \right)\left( m-2 \right)=2{{\left( m-2 \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow -2x+2m+2{{m}^{2}}-6m+4=2{{m}^{2}}-8m+8 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow 2x=4m-4\Leftrightarrow x=2m-2$
$\Rightarrow $ Giao điểm của $d$ và đường thẳng $y=2$ là $B\left( 2m-2;2 \right).$
Ta có: $AB=2\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( 2m-4 \right)}^{2}}+{{\left( 2-\dfrac{2m}{m-2} \right)}^{2}}=20$
$\Leftrightarrow 4{{\left( m-2 \right)}^{2}}+\dfrac{16}{{{\left( m-2 \right)}^{2}}}=20$
$\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{4}}-5{{\left( m-2 \right)}^{2}}+4=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}=1 \\
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=1 \\
& m=4 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $S=3+1+4+0=8.$
Đáp án C.