Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+1}\left( C \right)$ Biết rằng...

Phương pháp:
- Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Gọi $M\left( a;\dfrac{2a-1}{a+1} \right)\in \left( C \right)\left( a\ne -1 \right)$. Tính các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận.
- Sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN của tổng khoảng cách.
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}~$
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+1}\left( C \right)$ có hai đường tiệm cận là $y=2;x=-1.~$
Gọi $M\left( a;\dfrac{2a-1}{a+1} \right)\in \left( C \right)\left( a\ne -1 \right)$.
Khoảng cách từ M đến đường thẳng $y=2\Leftrightarrow y-2=0$ là:
${{d}_{1}}=\dfrac{\left| \dfrac{2a-1}{a+1}-2 \right|}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\left| \dfrac{2a-1-2a-2}{a+1} \right|=\dfrac{3}{\left| a+1 \right|}$
Khoảng cách từ M đến đường thẳng $x=-1\Leftrightarrow x+1=0$ là:
${{d}_{2}}=\dfrac{\left| a+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\left| a+1 \right|$
Do đó tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là:
$d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}=\dfrac{3}{\left| a+1 \right|}+\left| a+1 \right|\ge 2\sqrt{\dfrac{3}{~\left| a+1 \right|~}.\left| a+1 \right|}=2\sqrt{3}$ (BĐT Cô-si)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{3}{\left| a+1 \right|}=\left| a+1 \right|\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-1+\sqrt{3} \\
& a=-1-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\left( tm \right)$
Với $a=-1+\sqrt{3}$ ta có ${{M}_{1}}\left( -1+\sqrt{3};2-\sqrt{3} \right)$.
Với $a=-1-\sqrt{3}$ ta có ${{M}_{2}}\left( -1-\sqrt{3};2+\sqrt{3} \right)$.
Vậy
$\begin{aligned}
& P={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}} \\
& =\left( -1+\sqrt{3} \right)\left( -1-\sqrt{3} \right)+\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right) \\
& ={{\left( -1 \right)}^{2}}-3+4-3 \\
& =-1 \\
\end{aligned}$