Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{2}{{x}^{2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu điểm $A$ thuộc $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ ( $M,N$ khác $A$ ) thỏa mãn ${{y}_{1}}-{{y}_{2}}=6\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)$ ?
A. $1$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $3$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $3$.
Nhận xét đây là hàm số trùng phương có hệ số $a>0$.
Ta có ${y}'={{x}^{3}}-7x$ nên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=-\sqrt{7} \\
{{x}_{0}}=\sqrt{7} \\
\end{array} \right.$.
Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ (là đường thẳng qua hai điểm $M,N$ ) có hệ số góc:
$k=\dfrac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=6$. Do đó để tiếp tuyến tại $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ có hệ số góc $k=6>0$ và cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ thì $-\sqrt{7}<{{x}_{0}}<0$ và ${{x}_{0}}\ne -\dfrac{\sqrt{21}}{3}$ (hoành độ điểm uốn).
Ta có phương trình: ${y}'\left( {{x}_{0}} \right)=6$ $\Leftrightarrow x_{0}^{3}-7{{x}_{0}}-6=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{0}}=-2 \\
{{x}_{0}}=-1 \\
{{x}_{0}}=3\text{ (}l\text{)} \\
\end{array} \right.$.
Vậy có 2 điểm $A$ thỏa yêu cầu.
Ta có ${y}'={{x}^{3}}-7x$ nên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=-\sqrt{7} \\
{{x}_{0}}=\sqrt{7} \\
\end{array} \right.$.
Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ (là đường thẳng qua hai điểm $M,N$ ) có hệ số góc:
$k=\dfrac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=6$. Do đó để tiếp tuyến tại $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ có hệ số góc $k=6>0$ và cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ thì $-\sqrt{7}<{{x}_{0}}<0$ và ${{x}_{0}}\ne -\dfrac{\sqrt{21}}{3}$ (hoành độ điểm uốn).
Ta có phương trình: ${y}'\left( {{x}_{0}} \right)=6$ $\Leftrightarrow x_{0}^{3}-7{{x}_{0}}-6=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{0}}=-2 \\
{{x}_{0}}=-1 \\
{{x}_{0}}=3\text{ (}l\text{)} \\
\end{array} \right.$.
Vậy có 2 điểm $A$ thỏa yêu cầu.
Đáp án B.