Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-m{x}^2+(m^2-m-1)x+1.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ để hàm số đạt...

Ta có $y^{\prime }=x^2-2mx+m^2-m-1.$
Hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2\iff y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
$\iff \mathrm{\Delta }{{}^{\prime }}_{y^{\prime }}>0\iff m^2-(m^2-m-1)>0$
$\iff m+1>0$
$\iff m>-1.(\ast )$
Vì $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình $y^{\prime }=0$ nên theo định lý Vi-et ta có:
$x_1+x_2=2m,x_1{x}_2=m^2-m-1.$
Mặt khác, $x_1^2-2m{x}_1+m^2-m-1=0\iff x_1^2=2m{x}_1-m^2+m+1.$
$x_1^2+2m{x}_2-3m^2+m-5\le 0\iff 2m{x}_1-m^2+m+1+2m{x}_2-3m^2+m-5\le 0$
$\iff 2m(x_1+x_2)-4m^2+2m-4\le 0$
$\iff 2m.2m-4m^2+2m-4\le 0$
$\iff m\le 2.$
So với điều kiện $(\ast ),$ ta có $-1<m\le 2.$ Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số thực $m$ thỏa yêu cầu bài toán.