Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-m-1 \right)x+1.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ để hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+2m{{x}_{2}}-3{{m}^{2}}+m-5\le 0?$
A. 9.
B. 3.
C. 7.
D. 4.
A. 9.
B. 3.
C. 7.
D. 4.
Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m-1.$
Hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$
$\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m-1 \right)>0$
$\Leftrightarrow m+1>0$
$\Leftrightarrow m>-1.\text{ }\left( * \right)$
Vì ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $y'=0$ nên theo định lý Vi-et ta có:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m,{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-m-1.$
Mặt khác, $x_{1}^{2}-2m{{x}_{1}}+{{m}^{2}}-m-1=0\Leftrightarrow x_{1}^{2}=2m{{x}_{1}}-{{m}^{2}}+m+1.$
$x_{1}^{2}+2m{{x}_{2}}-3{{m}^{2}}+m-5\le 0\Leftrightarrow 2m{{x}_{1}}-{{m}^{2}}+m+1+2m{{x}_{2}}-3{{m}^{2}}+m-5\le 0$
$\Leftrightarrow 2m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-4{{m}^{2}}+2m-4\le 0$
$\Leftrightarrow 2m.2m-4{{m}^{2}}+2m-4\le 0$
$\Leftrightarrow m\le 2.$
So với điều kiện $\left( * \right),$ ta có $-1<m\le 2.$ Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số thực $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$
$\Leftrightarrow \Delta {{'}_{y'}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m-1 \right)>0$
$\Leftrightarrow m+1>0$
$\Leftrightarrow m>-1.\text{ }\left( * \right)$
Vì ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $y'=0$ nên theo định lý Vi-et ta có:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m,{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-m-1.$
Mặt khác, $x_{1}^{2}-2m{{x}_{1}}+{{m}^{2}}-m-1=0\Leftrightarrow x_{1}^{2}=2m{{x}_{1}}-{{m}^{2}}+m+1.$
$x_{1}^{2}+2m{{x}_{2}}-3{{m}^{2}}+m-5\le 0\Leftrightarrow 2m{{x}_{1}}-{{m}^{2}}+m+1+2m{{x}_{2}}-3{{m}^{2}}+m-5\le 0$
$\Leftrightarrow 2m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-4{{m}^{2}}+2m-4\le 0$
$\Leftrightarrow 2m.2m-4{{m}^{2}}+2m-4\le 0$
$\Leftrightarrow m\le 2.$
So với điều kiện $\left( * \right),$ ta có $-1<m\le 2.$ Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số thực $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án B.