Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đạo hàm là hàm số ${y}'={f}'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ dương. Hỏi đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng bao nhiêu?
A. 1.
B. $\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $\dfrac{4}{3}$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
$y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( C \right)$.
${{y}^{/}}={{f}^{/}}\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c \left( P \right)$
Dựa vào đồ thị của $\left( P \right)\Rightarrow {{f}^{/}}\left( 0 \right)=0\Rightarrow c=0$
$\left( P \right)$ có đỉnh $I\left( 1;-1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{b}{3a}=1 \\
& 3a+2b=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3a+b=0 \\
& 3a+2b=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{3} \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{y}^{/}}={{f}^{/}}\left( x \right)={{x}^{2}}-2x\Rightarrow y=f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+d \left( C \right)$
Vì $\left( C \right)$ tiếp xúc Ox tại điểm có hoành độ dương nên $\left( C \right)$ tiếp xúc Ox tại điểm có hoành độ $x=2$, theo điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 2 \right)=0 \\
& {{f}^{/}}\left( 2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{8}{3}-4+d=0\Leftrightarrow d=\dfrac{4}{3}\Rightarrow \left( C \right) $ cắt Oy tại điểm $ A\left( 0;\dfrac{4}{3} \right)$.
A. 1.
B. $\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $\dfrac{4}{3}$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
$y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( C \right)$.
${{y}^{/}}={{f}^{/}}\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c \left( P \right)$
Dựa vào đồ thị của $\left( P \right)\Rightarrow {{f}^{/}}\left( 0 \right)=0\Rightarrow c=0$
$\left( P \right)$ có đỉnh $I\left( 1;-1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{b}{3a}=1 \\
& 3a+2b=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3a+b=0 \\
& 3a+2b=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{3} \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{y}^{/}}={{f}^{/}}\left( x \right)={{x}^{2}}-2x\Rightarrow y=f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+d \left( C \right)$
Vì $\left( C \right)$ tiếp xúc Ox tại điểm có hoành độ dương nên $\left( C \right)$ tiếp xúc Ox tại điểm có hoành độ $x=2$, theo điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 2 \right)=0 \\
& {{f}^{/}}\left( 2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{8}{3}-4+d=0\Leftrightarrow d=\dfrac{4}{3}\Rightarrow \left( C \right) $ cắt Oy tại điểm $ A\left( 0;\dfrac{4}{3} \right)$.
Đáp án D.