Cho hàm số $u\left( x \right)=\dfrac{x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}$ và $f\left( x \right),$ trong đó đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ như hình bên...

Phương pháp:
- Lập BBT của hàm số $u\left( x \right)=\dfrac{x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}},$ xác định sự tương ứng nghiệm $x\Leftrightarrow u\left( x \right)$.
- Đặt $t=u\left( x \right).$ Biện luận để phương trình $f\left( t \right)=m$ có đúng 3 nghiệm $x$ phân biệt thì cần có nghiệm $t$ thỏa mãn điều kiện gì?
- Dựa vào đồ thị hàm số tìm $m$ để phương trình có nghiệm $t$ thỏa mãn điều kiện vừa biện luận ở trên.
Cách giải:
Xét hàm số $u\left( x \right)=\dfrac{x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}$ ta có
$u'\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+3}-\left( x+3 \right).\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}}{{{x}^{2}}+3}$
$=\dfrac{{{x}^{2}}+3-{{x}^{2}}-3x}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+3}}=\dfrac{3-3x}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+3}}$
$u'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$
Ta có BBT:

Đặt $t=u\left( x \right),$ phương trình $f\left( u\left( x \right) \right)=m\Leftrightarrow f\left( t \right)=m.$
Do đó để phương trình $f\left( t \right)=m$ có đúng 3 nghiệm $x$ phân biệt thì cần phải có 2 nghiệm $t$ phân biệt thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}\in \left( -1;1 \right)\cup \left\{ 2 \right\} \\
& {{t}_{2}}\in \left( 1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\left( * \right).$
Dựa vào đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ ta thấy $\left( * \right)\Rightarrow m\in \left( -3;0 \right].$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;-1;-2 \right\}.$
Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.