Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=-x^{7}+\left(2 m^{2}-3 m\right) x^{4}+\left(2 m^{3}-5 m^{2}+3 m\right) x^{2}+2022$. Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị của $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Tổng các phần tử của $S$ bằng:
A. $\dfrac{2}{3}$
B. $\dfrac{2}{5}$
C. $\dfrac{3}{2}$
D. $\dfrac{5}{2}$
A. $\dfrac{2}{3}$
B. $\dfrac{2}{5}$
C. $\dfrac{3}{2}$
D. $\dfrac{5}{2}$
$f(x)=-{{x}^{7}}+\left( 2{{m}^{2}}-3m \right){{x}^{4}}+\left( 2{{m}^{3}}-5{{m}^{2}}+3m \right){{x}^{2}}+2022$
${f}'\left( x \right)=-7{{x}^{6}}+4\left( 2{{m}^{2}}-3m \right){{x}^{3}}+2\left( 2{{m}^{3}}-5{{m}^{2}}+3m \right)x$
$=x\underbrace{\left[ -7{{x}^{5}}+4\left( 2{{m}^{2}}-3m \right){{x}^{2}}+2\left( 2{{m}^{3}}-5{{m}^{2}}+3m \right) \right]}_{g\left( x \right)}$
Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow $ ${f}'\left( x \right)\le 0, \forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow g\left( x \right)=0$ có một nghiệm $x=0$.
$\Rightarrow g\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow 2{{m}^{3}}-5{{m}^{2}}+3m=0\Leftrightarrow m\left( m-1 \right)\left( 2m-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m=0 \\
m=1 \\
m=\dfrac{3}{2}. \\
\end{array} \right.$.
Với $m=0\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-7{{x}^{6}}\le 0, \forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
Với $m=1\to {f}'\left( x \right)=x\left[ -7{{x}^{5}}-4{{x}^{2}} \right]$ (loại).
Với $m=\dfrac{3}{2}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-7{{x}^{6}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
Vậy $0+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$.
${f}'\left( x \right)=-7{{x}^{6}}+4\left( 2{{m}^{2}}-3m \right){{x}^{3}}+2\left( 2{{m}^{3}}-5{{m}^{2}}+3m \right)x$
$=x\underbrace{\left[ -7{{x}^{5}}+4\left( 2{{m}^{2}}-3m \right){{x}^{2}}+2\left( 2{{m}^{3}}-5{{m}^{2}}+3m \right) \right]}_{g\left( x \right)}$
Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow $ ${f}'\left( x \right)\le 0, \forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow g\left( x \right)=0$ có một nghiệm $x=0$.
$\Rightarrow g\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow 2{{m}^{3}}-5{{m}^{2}}+3m=0\Leftrightarrow m\left( m-1 \right)\left( 2m-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m=0 \\
m=1 \\
m=\dfrac{3}{2}. \\
\end{array} \right.$.
Với $m=0\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-7{{x}^{6}}\le 0, \forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
Với $m=1\to {f}'\left( x \right)=x\left[ -7{{x}^{5}}-4{{x}^{2}} \right]$ (loại).
Với $m=\dfrac{3}{2}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-7{{x}^{6}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
Vậy $0+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$.
Đáp án C.