Cho hàm số $f(x)=x^{3}+c x^{2}+b x+c$ với $a,b,c$ là các số thực...

Ta có
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x+b$ ;
${{f}'}'\left( x \right)=6x+2a$ ;
${{{f}'}'}'\left( x \right)=6$ ;
$g\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+6$.
Vì $g\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là là $-3$ và $6$ nên không giảm tổng quát, $g\left( x \right)$ có hai điểm cực trị là ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ và $g\left( {{x}_{1}} \right)=-3$, $g\left( {{x}_{1}} \right)=6$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường $y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}$ và $y=1$ là $\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}=1$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)+6$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+6$
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+6=0$
$\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}$ và $y=1$ là:
$S=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}-1 \right)}\text{d}x \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{f\left( x \right)-g\left( x \right)-6}{g\left( x \right)+6} \right)}\text{d}x \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{-{f}'\left( x \right)-{{f}'}'\left( x \right)-6}{g\left( x \right)+6} \right)}\text{d}x \right|$
$=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{-{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+6} \right)}\text{d}x \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+6} \right)}\text{d}x \right|=\left| \left. \ln \left| g\left( x \right)+6 \right| \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|=\left| \ln 12-\ln 3 \right|=2\ln 2.$ $$