Cho hàm số ${{f}({x})={x}^3+{ax}^2+{bx}+{C}}$ với ${{a}, {b}...

Ta có: ${{f}({x})={x}^3+{ax}^2+{bx}+{c} \Rightarrow {f}\prime ({x})=3 {x}^2+2 {ax}+{b} ; {f}^{\prime \prime }({x})=6 {x}+2 {a}}$ và ${{f}^{\prime \prime }({x})=6}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của các đường ${{y}=\dfrac{{f}({x})}{{g}({x})+6}}$ và ${{y}=1}$ là:
${\dfrac{{f}({x})}{{g}({x})+6}=1 \Leftrightarrow {f}({x})={g}({x})+6}$
${\Leftrightarrow x^3+a x^2+b x+c=\left(x^3+a x^2+b x+c\right)+\left(3 x^2+2 a x+b\right)+(6 x+2 a)+6}$
${\Leftrightarrow 3 x^2+(2 a+6) x+2 a+b+6=0(*)}$
Gọi 2 nghiệm của phương trình ${(*)}$ là ${{x}_1}$ và ${{x}_2}$.
Nhận xét: ${g(x)=f(x)+f\prime (x)+f^{\prime \prime }(x)}$
${\Rightarrow g\prime (x)=f\prime (x)+f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime \prime \prime }(x)}$
${
\Leftrightarrow g\prime (x)=\left(3 x^2+2 a x+b\right)+(6 x+2 a)+6=3 x^2+(2 a+6) x+2 a+b+6
}$
${\Rightarrow g\prime (x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=x_1 \\ x=x_2\end{array}\right.}$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ${{y}=\dfrac{{f}({x})}{{g}({x})+6}}$ và ${{y}=1}$ là
${
\begin{aligned}
&{S}=\left|\int_{{x}_1}^{{x}}\left(\dfrac{{f}({x})}{{g}({x})+6}-1\right) {dx}\right|=\left|\int_{{x}_1}^{{x}_{{x}}} \dfrac{{f}({x})-{g}({x})-6}{{~g}({x})+6} {dx}\right|=\left|\int_{{x}_1}^{{x}_2} \dfrac{{g}\prime ({x})}{{g}({x})+6} {dx}\right|=|\ln | {g}({x})+\left.{G}\right|_{{x}_1} ^{{x}_2} \mid \\
&=|\ln | {g}\left({x}_2\right)+6|-\ln | {g}\left({x}_1\right)+6 \|=\ln 8-\ln 2=2 \ln 2
\end{aligned}
}$