Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)={{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}\left( {{\text{e}}^{x}}-{{\text{e}}^{-x}} \right)$. Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ thỏa mãn bất phương trình $f\left( m-7 \right)+f\left( \dfrac{12}{m+1} \right)<0$ ?
A. Vô số.
B. $4.$
C. $3.$
D. $5.$
A. Vô số.
B. $4.$
C. $3.$
D. $5.$
Hàm số $f(x)={{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}\left( {{\text{e}}^{x}}-{{\text{e}}^{-x}} \right)$ xác định $\forall x\in \mathbb{R}$.
Khi đó với $-x\in \mathbb{R}$, ta có $f(-x)={{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}\left( {{\text{e}}^{-x}}-{{\text{e}}^{x}} \right)=-f\left( x \right)$.
Suy ra $f(x)$ là hàm số lẻ. $\left( 1 \right)$
Mặt khác $f(x)={{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}}-{{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}}\Rightarrow {f}'(x)=\left( \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+1 \right){{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}}-\left( \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-1 \right){{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}}$
$=\left( \dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right){{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}}+\left( \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right){{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}}>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. $\left( 2 \right)$
Ta có $f\left( m-7 \right)+f\left( \dfrac{12}{m+1} \right)<0$ $\Leftrightarrow f\left( m-7 \right)<-f\left( \dfrac{12}{m+1} \right)$.
Theo $\left( 1 \right)$ suy ra $\Leftrightarrow f\left( m-7 \right)<f\left( -\dfrac{12}{m+1} \right)$.
Theo $\left( 2 \right)$ ta được $m-7<-\dfrac{12}{m+1}\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}-6m+5}{m+1}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1<m<5 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $m\in \left\{ 2;3;4 \right\}$.
Khi đó với $-x\in \mathbb{R}$, ta có $f(-x)={{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}\left( {{\text{e}}^{-x}}-{{\text{e}}^{x}} \right)=-f\left( x \right)$.
Suy ra $f(x)$ là hàm số lẻ. $\left( 1 \right)$
Mặt khác $f(x)={{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}}-{{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}}\Rightarrow {f}'(x)=\left( \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+1 \right){{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}}-\left( \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-1 \right){{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}}$
$=\left( \dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right){{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}}+\left( \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right){{\text{e}}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}}>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. $\left( 2 \right)$
Ta có $f\left( m-7 \right)+f\left( \dfrac{12}{m+1} \right)<0$ $\Leftrightarrow f\left( m-7 \right)<-f\left( \dfrac{12}{m+1} \right)$.
Theo $\left( 1 \right)$ suy ra $\Leftrightarrow f\left( m-7 \right)<f\left( -\dfrac{12}{m+1} \right)$.
Theo $\left( 2 \right)$ ta được $m-7<-\dfrac{12}{m+1}\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}-6m+5}{m+1}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1<m<5 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $m\in \left\{ 2;3;4 \right\}$.
Đáp án C.