Cho hàm số $f (x)$ liên tục và dương trên $\left( 0;+\infty...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục và dương trên

(0; + \infty)

thỏa mãn

f^{'} (x) + (2 x + 4) f^{2} (x) = 0

và

f (0) = \frac{1}{3}

. Tính tổng

S = f (0) + f (1) + f (2) + . . . + f (2018) = \frac{a}{b}

với

a \in Z, b \in N, \frac{a}{b}

tối giản. Khi đó

b - a = ?

A.

\frac{1}{2} (\frac{2020}{2021} + \frac{1009}{2020})

.
B.

\frac{1}{2} (\frac{2020}{2021} - \frac{1009}{2020})

.
C.

\frac{1}{2} (\frac{2020}{2021} + 1)

.
D. 2019.

Xét

f^{'} (x) + (2 x + 4) f^{2} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{- f^{'} (x)}{f^{2} (x)} = 2 x + 4

\Rightarrow \int \frac{- f^{'} (x)}{f^{2} (x)} d x = \int (2 x + 4) d x \Rightarrow \frac{1}{f (x)} = x^{2} + 4 x + C

.
Vì

f (0) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = 3 \Rightarrow f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4 x + 3} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3})

.
Vậy

S = [f (0) + f (2) + . . . + f (2018)] + [f (1) + f (3) + . . . + f (2017)]

S = \frac{1}{2} [1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{2019} - \frac{1}{2021}] + \frac{1}{2} [\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2020}]

S = \frac{1}{2} [1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021}] = \frac{1}{2} [\frac{2020}{2021} + \frac{1009}{2020}]

.

Đáp án A.

Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên $\left( 0;+\infty...