Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $R$, biết $\dfrac{1}{2} f(1-\sin...

+ Đặt . Đặt .
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt=}\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}{{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f(2-{{\cos }^{2}}x).\sin 2xdx}t=2-{{\cos }^{2}}x\Rightarrow dt=\sin 2x.dx\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{2}{f(t)dt=}\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}$
+ Đặt . Đặt .
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=3 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{I}_{3}}=\int\limits_{2}^{3}{\dfrac{{{\left( t-2 \right)}^{2}}}{t}}dt=\int\limits_{2}^{3}{\left( t-4+\dfrac{4}{t} \right)}dt=\left( \dfrac{{{t}^{2}}}{2}-4t+4\ln t \right)|_{2}^{3}=\dfrac{-3}{2}+4\ln \dfrac{3}{2}\int_{0}^{2}{f}(x)dx={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=-3+8\ln \dfrac{3}{2}$.