Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ biết $\int\limits_{1}^{{{e}^{6}}}{\dfrac{f\left( \ln \sqrt{x} \right)}{x}dx=6}$ và $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( {{\cos }^{2}}x \right)\sin 2xdx=2}$. Giá trị của $\int\limits_{1}^{3}{\left( f\left( x \right)+2 \right)dx}$ bằng
A. 10.
B. 16.
C. 9
D. 5.
A. 10.
B. 16.
C. 9
D. 5.
+) Xét ${{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{{{e}^{6}}}{\dfrac{f\left( \ln \sqrt{x} \right)}{x}dx}=6$. Đặt $t=\ln \sqrt{x}\Rightarrow dt=\dfrac{1}{2x}dx\Rightarrow 2dt=\dfrac{1}{x}dx$
Suy ra: ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{2f\left( t \right)dt}=6\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{f\left( t \right)dt=3}$
+) Xét ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( {{\cos }^{2}}x \right).\sin \left( 2x \right).dx}$. Đặt $t={{\cos }^{2}}x\to dt=-\sin \left( 2x \right)dx$
Suy ra: ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=2\Rightarrow {{I}_{2}}=2$.
Vậy $\int\limits_{1}^{3}{\left( f\left( x \right)+2 \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{3}{2dx}=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+4={{I}_{1}}-{{I}_{2}}+4=5$.
Suy ra: ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{2f\left( t \right)dt}=6\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{f\left( t \right)dt=3}$
+) Xét ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( {{\cos }^{2}}x \right).\sin \left( 2x \right).dx}$. Đặt $t={{\cos }^{2}}x\to dt=-\sin \left( 2x \right)dx$
Suy ra: ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=2\Rightarrow {{I}_{2}}=2$.
Vậy $\int\limits_{1}^{3}{\left( f\left( x \right)+2 \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{3}{2dx}=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+4={{I}_{1}}-{{I}_{2}}+4=5$.
Đáp án A.