Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có ${f}'\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và ${f}'\left( 0 \right)=1$. Hàm số $y=f\left( x \right)+{{e}^{-x}}$ nghịch biến trên khoảng nào cho dưới đây?
A. $\left( 0;+\infty \right)$.
B. $\left( -2;0 \right)$.
C. $\left( -\infty ;1\right)$.
D. $\left( -1;1 \right)$.
A. $\left( 0;+\infty \right)$.
B. $\left( -2;0 \right)$.
C. $\left( -\infty ;1\right)$.
D. $\left( -1;1 \right)$.
Ta có: $y'=f'\left( x \right)-{{e}^{-x}}=f'\left( x \right)-\dfrac{1}{{{e}^{x}}}$.
Vì $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $f'\left( 0 \right)=1$ nên ta có:
Với $x>0$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)>1 \\
& \dfrac{1}{{{e}^{x}}}<1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y'=f'\left( x \right)-\dfrac{1}{{{e}^{x}}}>0$.
Suy ra $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Với $x<0$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)<1 \\
& \dfrac{1}{{{e}^{x}}}>1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y'=f'\left( x \right)-\dfrac{1}{{{e}^{x}}}<0$.
Suy ra $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;0 \right)$
Vậy hàm số nghịch biến trên $\left( -2;0 \right)$.
Vì $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $f'\left( 0 \right)=1$ nên ta có:
Với $x>0$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)>1 \\
& \dfrac{1}{{{e}^{x}}}<1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y'=f'\left( x \right)-\dfrac{1}{{{e}^{x}}}>0$.
Suy ra $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Với $x<0$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)<1 \\
& \dfrac{1}{{{e}^{x}}}>1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y'=f'\left( x \right)-\dfrac{1}{{{e}^{x}}}<0$.
Suy ra $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;0 \right)$
Vậy hàm số nghịch biến trên $\left( -2;0 \right)$.
Đáp án B.