Google
Câu hỏi: Cho hàm số f x có đạo hàm trên R thỏa mãn $\left| f(x+h)-f(x-h) \right|\le {{h}^{2}},\forall x\in \mathbb{R},\forall h>0$. Đặt $g\left( x \right)={{\left[ x+f'\left( x \right) \right]}^{2019}}+{{\left[ x+f'\left( x \right) \right]}^{29-m}}-\left( {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100 \right){{\sin }^{2}}x-1$, m là tham số nguyên và
m 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=0$. Tính tổng bình phương các phần tử của .S
A. 108.
B. 58.
C. 100.
D. 50.
m 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=0$. Tính tổng bình phương các phần tử của .S
A. 108.
B. 58.
C. 100.
D. 50.
Lời giải
Ta có $h\forall >0$ thì $\left| f(x+h)-f(x-h) \right|\le {{h}^{2}}$
$\Leftrightarrow -h\le \dfrac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)+f\left( x \right)-f\left( x-h \right)}{h}$
$\Leftrightarrow -h\le \dfrac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}+\dfrac{f\left( x-h \right)-f\left( x \right)}{-h}\le h$
Suy ra $\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( -h \right)\le \underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}+\dfrac{f\left( x-h \right)-f\left( x \right)}{-h} \right]\le \underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} h$
$\Rightarrow 0\le f'\left( x \right)+f'\left( x \right)\le 0\Rightarrow f'\left( x \right)=0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$
Suy ra $g(x)={{x}^{2019}}+{{x}^{29}}^{-m}-({{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100)si{{n}^{2}}x-1$
$\Rightarrow g'(x)=2019{{x}^{2018}}+(29-m){{x}^{28}}{{^{-}}^{m}}-({{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100)\sin 2x$
$\Rightarrow g''(x)=2019.2018.{{x}^{2017}}+(29-m)(28-m){{x}^{27}}{{^{-}}^{m}}-2({{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100)\cos 2x$
Dễ thấy $g'\left( 0 \right)=0,\forall m<27.~$
Xét $g''\left( 0 \right)=-2\left( {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}=4 \\
& {{m}^{2}}=25 \\
\end{aligned} \right.$
* Khi ${{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm 2:$
$+m=2$ ta có $g(x)={{x}^{2019}}+{{x}^{27}}-1$ có $g'(x)={{x}^{26}}(2019{{x}^{1992}}+27)$ không đổi dấu khi qua $x=0.$
$+m=-2$ ta có $g(x)={{x}^{2019}}+{{x}^{31}}-1$ có $g'(x)={{x}^{30}}(2019{{x}^{1988}}+31)$ không đổi dấu khi qua $x=0$.
* Khi ${{m}^{2}}=25\Leftrightarrow m=\pm 5:$
$+m=5$ ta có $g(x)={{x}^{2019}}+{{x}^{24}}-1$ có $g'(x)={{x}^{23}}(2019{{x}^{1995}}+24)$ đổi dấu khi qua $x=0$ và
$x=-\sqrt[1995]{\dfrac{24}{2019}}$. Trường hợp này hàm đạt cực tiểu tại $x=0$.
$+m=-5$ ta có $g(x)={{x}^{2019}}+{{x}^{34}}-1$ có $g'(x)={{x}^{33}}(2019{{x}^{1985}}+34)$ đổi dấu khi qua $x=0$ và
$x=\sqrt[-1985]{\dfrac{34}{2019}}$. Trường hợp này hàm đạt cực tiểu tại $x=0$.
*Nếu $4<{{m}^{2}}<25\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2<m<5 \\
& -5<m<-2 \\
\end{aligned} \right. $ thì $ g''\left( 0 \right)>0 $ nên hàm số đạt cực tiểu tại $ x=0.~$
*Nếu ${{m}^{2}}<4$ hoặc ${{m}^{2}}>25$ thì $g''\left( 0 \right)<0$ nên hàm số $g(x)$ đạt cực đại tại $x=0$.
Vậy các giá trị nguyên của m 27 để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 là $S=\{-5;-4;-3;3;4;5\}$.
Tổng bình phương các phần tử của S là 100.
Ta có $h\forall >0$ thì $\left| f(x+h)-f(x-h) \right|\le {{h}^{2}}$
$\Leftrightarrow -h\le \dfrac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)+f\left( x \right)-f\left( x-h \right)}{h}$
$\Leftrightarrow -h\le \dfrac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}+\dfrac{f\left( x-h \right)-f\left( x \right)}{-h}\le h$
Suy ra $\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( -h \right)\le \underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}+\dfrac{f\left( x-h \right)-f\left( x \right)}{-h} \right]\le \underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} h$
$\Rightarrow 0\le f'\left( x \right)+f'\left( x \right)\le 0\Rightarrow f'\left( x \right)=0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$
Suy ra $g(x)={{x}^{2019}}+{{x}^{29}}^{-m}-({{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100)si{{n}^{2}}x-1$
$\Rightarrow g'(x)=2019{{x}^{2018}}+(29-m){{x}^{28}}{{^{-}}^{m}}-({{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100)\sin 2x$
$\Rightarrow g''(x)=2019.2018.{{x}^{2017}}+(29-m)(28-m){{x}^{27}}{{^{-}}^{m}}-2({{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100)\cos 2x$
Dễ thấy $g'\left( 0 \right)=0,\forall m<27.~$
Xét $g''\left( 0 \right)=-2\left( {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}=4 \\
& {{m}^{2}}=25 \\
\end{aligned} \right.$
* Khi ${{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm 2:$
$+m=2$ ta có $g(x)={{x}^{2019}}+{{x}^{27}}-1$ có $g'(x)={{x}^{26}}(2019{{x}^{1992}}+27)$ không đổi dấu khi qua $x=0.$
$+m=-2$ ta có $g(x)={{x}^{2019}}+{{x}^{31}}-1$ có $g'(x)={{x}^{30}}(2019{{x}^{1988}}+31)$ không đổi dấu khi qua $x=0$.
* Khi ${{m}^{2}}=25\Leftrightarrow m=\pm 5:$
$+m=5$ ta có $g(x)={{x}^{2019}}+{{x}^{24}}-1$ có $g'(x)={{x}^{23}}(2019{{x}^{1995}}+24)$ đổi dấu khi qua $x=0$ và
$x=-\sqrt[1995]{\dfrac{24}{2019}}$. Trường hợp này hàm đạt cực tiểu tại $x=0$.
$+m=-5$ ta có $g(x)={{x}^{2019}}+{{x}^{34}}-1$ có $g'(x)={{x}^{33}}(2019{{x}^{1985}}+34)$ đổi dấu khi qua $x=0$ và
$x=\sqrt[-1985]{\dfrac{34}{2019}}$. Trường hợp này hàm đạt cực tiểu tại $x=0$.
*Nếu $4<{{m}^{2}}<25\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2<m<5 \\
& -5<m<-2 \\
\end{aligned} \right. $ thì $ g''\left( 0 \right)>0 $ nên hàm số đạt cực tiểu tại $ x=0.~$
*Nếu ${{m}^{2}}<4$ hoặc ${{m}^{2}}>25$ thì $g''\left( 0 \right)<0$ nên hàm số $g(x)$ đạt cực đại tại $x=0$.
Vậy các giá trị nguyên của m 27 để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 là $S=\{-5;-4;-3;3;4;5\}$.
Tổng bình phương các phần tử của S là 100.
Đáp án C.