Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x)=(x-1)2(x2-2x) với mọi $x\in...

Do hàm f có đạo hàm trên R nên hàm g có đạo hàm và theo đề bài ta có đẳng thức sau:

Hay
Khi đó để hàm g đồng biến trên khoảng ( 4;+ ) thì ta phải có

Bất đẳng thức trên viết lại thành:
Ta xét các trường hợp sau:
- Với m 18 thì x2​− 8x+m− 11 với mọi x nên bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng. Vậy hàm g đồng biên trên ( 4;+) với mọi m 18 .
- Với m= 17g' (x) = 0 với mọi x( 4; +) nên hàm g không phải hàm đồng biến trên ( 4;+)
- Với m16 . Khi đó ta để ý rằng phương trình x2​− 8x+m= 0 sẽ có một nghiệm là , phương trình x2​− 8x+m− 2 = 0 sẽ có 1 nghiệm là
Dễ thấy rằng với mọi số nguyên mm16 , do đó ta có thể chọn được một số thựcx' thỏa mãn 4x1​x'x2​ . Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2, ta có (x' )2​− 8x'+m0 và
(x' )2​− 8x' +m− 20 . Do đó ( (x' )2​− 8x' +m) ( (x' )2 ​− 8x' +m− 2 )0 . Do đó hàm g không đồng biến trên ( 4;+ ) .
Vậy để hàm g đồng biến trên ( 4;+ ) thì m 18 . Mà theo đề bài mlà số nguyên và m 100 .
Do đó có 99 − 18 + 1 = 82 giá trị của mthỏa yêu cầu bài toán