Google
Câu hỏi: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x)=(x-1)2(x2-2x) với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên m<100 để hàm số g(x)=f(x2– 8x +m) đồng biến trên khoảng (4; + $\infty $ )?
A. 83.
B. 18.
C. 82.
D. 84.
A. 83.
B. 18.
C. 82.
D. 84.
Do hàm f có đạo hàm trên R nên hàm g có đạo hàm và theo đề bài ta có đẳng thức sau:
$g'\left( x \right)=\left( 2x-8 \right)f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$
Hay $g'\left( x \right)=2\left( x-4 \right){{\left( {{x}^{2}}-8x+m-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m-~2 \right)~$
Khi đó để hàm g đồng biến trên khoảng ( 4;+ ) thì ta phải có
$\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m-2 \right)\ge 0 \forall x>4$
Bất đẳng thức trên viết lại thành: ${{\left( {{x}^{2}}-8x+m-1 \right)}^{2}}-1\ge 0\left( * \right)~$
Ta xét các trường hợp sau:
- Với m 18 thì x2− 8x+m− 11 với mọi x nên bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng. Vậy hàm g đồng biên trên ( 4;+) với mọi m 18 .
- Với m= 17g' (x) = 0 với mọi x( 4; +) nên hàm g không phải hàm đồng biến trên ( 4;+)
- Với m16 . Khi đó ta để ý rằng phương trình x2− 8x+m= 0 sẽ có một nghiệm là ${{x}_{1}}=4+\sqrt{16-m}$, phương trình x2− 8x+m− 2 = 0 sẽ có 1 nghiệm là ${{x}^{2}}=4+\sqrt{18-m}.~$
Dễ thấy rằng $4<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ với mọi số nguyên mm16 , do đó ta có thể chọn được một số thựcx' thỏa mãn 4x1x'x2 . Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2, ta có (x' )2− 8x'+m0 và
(x' )2− 8x' +m− 20 . Do đó ( (x' )2− 8x' +m) ( (x' )2 − 8x' +m− 2 )0 . Do đó hàm g không đồng biến trên ( 4;+ ) .
Vậy để hàm g đồng biến trên ( 4;+ ) thì m 18 . Mà theo đề bài mlà số nguyên và m 100 .
Do đó có 99 − 18 + 1 = 82 giá trị của mthỏa yêu cầu bài toán
$g'\left( x \right)=\left( 2x-8 \right)f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$
Hay $g'\left( x \right)=2\left( x-4 \right){{\left( {{x}^{2}}-8x+m-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m-~2 \right)~$
Khi đó để hàm g đồng biến trên khoảng ( 4;+ ) thì ta phải có
$\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m-2 \right)\ge 0 \forall x>4$
Bất đẳng thức trên viết lại thành: ${{\left( {{x}^{2}}-8x+m-1 \right)}^{2}}-1\ge 0\left( * \right)~$
Ta xét các trường hợp sau:
- Với m 18 thì x2− 8x+m− 11 với mọi x nên bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng. Vậy hàm g đồng biên trên ( 4;+) với mọi m 18 .
- Với m= 17g' (x) = 0 với mọi x( 4; +) nên hàm g không phải hàm đồng biến trên ( 4;+)
- Với m16 . Khi đó ta để ý rằng phương trình x2− 8x+m= 0 sẽ có một nghiệm là ${{x}_{1}}=4+\sqrt{16-m}$, phương trình x2− 8x+m− 2 = 0 sẽ có 1 nghiệm là ${{x}^{2}}=4+\sqrt{18-m}.~$
Dễ thấy rằng $4<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ với mọi số nguyên mm16 , do đó ta có thể chọn được một số thựcx' thỏa mãn 4x1x'x2 . Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2, ta có (x' )2− 8x'+m0 và
(x' )2− 8x' +m− 20 . Do đó ( (x' )2− 8x' +m) ( (x' )2 − 8x' +m− 2 )0 . Do đó hàm g không đồng biến trên ( 4;+ ) .
Vậy để hàm g đồng biến trên ( 4;+ ) thì m 18 . Mà theo đề bài mlà số nguyên và m 100 .
Do đó có 99 − 18 + 1 = 82 giá trị của mthỏa yêu cầu bài toán
Đáp án C.