Google
Câu hỏi: Cho hảm số $f^{\prime}(x)=(x-2)^{2}\left(x^{2}-4 x+3\right)$ vớimọi $x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giả trị nguyên dương của $m$ để hàm số $y=f\left(x^{2}-10 x+m+9\right)$ có 5 điểm cực trị?
A. 16.
B. 15.
C. 18.
D. 17.
A. 16.
B. 15.
C. 18.
D. 17.
${{f}^{\prime }}(x)={{(x-2)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)={{(x-2)}^{2}}\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)$
${{f}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
$x=2$ là nghiệm kép nên khi qua giá trị $x=2$ thì ${f}'\left( x \right)$ không bị đổi dấu.
$y=f\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)\Rightarrow {y}'=2\left( x-5 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)$
${y}'=0\Leftrightarrow 2\left( x-5 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-5=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Nên ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x-10=0 \\
& {{\left( {{x}^{2}}-10x+m+9-2 \right)}^{2}}=0 \\
& {{x}^{2}}-10x+m+9=1 \\
& {{x}^{2}}-10x+m+9=3 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=5 \\
& {{\left( {{x}^{2}}-10x+m+9-2 \right)}^{2}}=0 \\
& {{x}^{2}}-10x+m+8=0 \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-10x+m+6=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)$ có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi ${y}'\left( x \right)$ đổi dấu $5$ lần
Hay phương trình $\left( 1 \right)$ và phương trình $\left( 2 \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $5$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta _{1}^{'}>0 \\
& \Delta _{2}^{'}>0 \\
& h\left( 5 \right)\ne 0 \\
& p\left( 5 \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $, (Với $ h\left( x \right)={{x}^{2}}-10x+m+8 $ và $ p\left( x \right)={{x}^{2}}-10x+m+6$).
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 17-m>0 \\
& 19-m>0 \\
& -17+m\ne 0 \\
& -19+m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<17$.
Vậy có $16$ giá trị nguyên dương $m$ thỏa mãn.
${{f}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
$x=2$ là nghiệm kép nên khi qua giá trị $x=2$ thì ${f}'\left( x \right)$ không bị đổi dấu.
$y=f\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)\Rightarrow {y}'=2\left( x-5 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)$
${y}'=0\Leftrightarrow 2\left( x-5 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-5=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Nên ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x-10=0 \\
& {{\left( {{x}^{2}}-10x+m+9-2 \right)}^{2}}=0 \\
& {{x}^{2}}-10x+m+9=1 \\
& {{x}^{2}}-10x+m+9=3 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=5 \\
& {{\left( {{x}^{2}}-10x+m+9-2 \right)}^{2}}=0 \\
& {{x}^{2}}-10x+m+8=0 \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-10x+m+6=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)$ có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi ${y}'\left( x \right)$ đổi dấu $5$ lần
Hay phương trình $\left( 1 \right)$ và phương trình $\left( 2 \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $5$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta _{1}^{'}>0 \\
& \Delta _{2}^{'}>0 \\
& h\left( 5 \right)\ne 0 \\
& p\left( 5 \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $, (Với $ h\left( x \right)={{x}^{2}}-10x+m+8 $ và $ p\left( x \right)={{x}^{2}}-10x+m+6$).
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 17-m>0 \\
& 19-m>0 \\
& -17+m\ne 0 \\
& -19+m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<17$.
Vậy có $16$ giá trị nguyên dương $m$ thỏa mãn.
Đáp án A.