Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như trong hình bên.
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $3f\left( x \right)+4=0$ là
A. $4$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $1$.
A. $4$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $1$.
Ta có $3f\left( x \right)+4=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{4}{3}$. Ta có ${f}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx=x\left( 4a{{x}^{2}}+3bx+2c \right)$.
Cho ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 4a{{x}^{2}}+3bx+2c=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ suy ra: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} {f}'\left( x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \left( 4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx \right)=+\infty \Rightarrow a<0$
Đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm, dương, bằng 0 nên phương trình (1) sẽ có hai nghiệm ${{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}$. Khi đó ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=-\dfrac{4}{3}$ tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình $3f\left( x \right)+4=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Cho ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 4a{{x}^{2}}+3bx+2c=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ suy ra: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} {f}'\left( x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \left( 4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx \right)=+\infty \Rightarrow a<0$
Đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm, dương, bằng 0 nên phương trình (1) sẽ có hai nghiệm ${{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}$. Khi đó ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy phương trình $3f\left( x \right)+4=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án B.