Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như trong hình bên.
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $3f\left( x \right)+4=0$ là
A. $4$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $1$.
A. $4$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $1$.
Ta có $3 f(x)+4=0 \Leftrightarrow f(x)=-\dfrac{4}{3}$.
Ta có $f^{\prime}(x)=4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x=x\left(4 a x^{2}+3 b x+2 c\right)$.
$
f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=0 \\
4 a x^{2}+3 b x+2 c=0(1)
\end{array}\right. \text {. }
$
Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime}(x)$ suy ra:
+) $\lim _{x \rightarrow-\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x\right)=+\infty \Rightarrow a<0$
+) Đồ thị hàm số $y=f^{\prime}(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm, dương, bằng 0 nên phương trình (1) sẽ có hai nghiệm $x_{1}<0<x_{2}$. Khi đó ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=-\dfrac{4}{3}$ tại hai điểm phân biệt.
Do đó phương trình $3 f(x)+4=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Ta có $f^{\prime}(x)=4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x=x\left(4 a x^{2}+3 b x+2 c\right)$.
$
f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=0 \\
4 a x^{2}+3 b x+2 c=0(1)
\end{array}\right. \text {. }
$
Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime}(x)$ suy ra:
+) $\lim _{x \rightarrow-\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x\right)=+\infty \Rightarrow a<0$
+) Đồ thị hàm số $y=f^{\prime}(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm, dương, bằng 0 nên phương trình (1) sẽ có hai nghiệm $x_{1}<0<x_{2}$. Khi đó ta có bảng biến thiên như sau:
Do đó phương trình $3 f(x)+4=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án B.