Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-12{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}+\left( 3-m \right)x$, với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng $7$ điểm cực trị?
A. $25.$
B. $27.$
C. $26.$
D. $28.$
A. $25.$
B. $27.$
C. $26.$
D. $28.$
Ta có $f^{\prime}(x)=4 x^{3}-36 x^{2}+60 x+3-m$
Hàm số $g(x)=f(|x|)$ có đúng 7 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $y=f(x)$ có đúng 3 điểm cực trị dương phân biệt, hay phương trình $f^{\prime}(x)=0$ có ba nghiệm dương phân biệt.
Khi đó $f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 4 x^{3}-36 x^{2}+60 x+3-m=0 \Leftrightarrow 4 x^{3}-36 x^{2}+60 x+3=m$ (1).
Yêu cầu bài toán là phương trình $(1)$ có ba nghiệm dương phân biệt.
Xét hàm số $h(x)=4 x^{3}-36 x^{2}+60 x+3$
$h^{\prime}(x)=12 x^{2}-72 x+60$ suy ra $h^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=5\end{array}\right.$.
Bảng biến thiên của hàm số $y=h(x)$
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có ba nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $3<m<31$, vậy có 27 giá trị nguyên của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Hàm số $g(x)=f(|x|)$ có đúng 7 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $y=f(x)$ có đúng 3 điểm cực trị dương phân biệt, hay phương trình $f^{\prime}(x)=0$ có ba nghiệm dương phân biệt.
Khi đó $f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 4 x^{3}-36 x^{2}+60 x+3-m=0 \Leftrightarrow 4 x^{3}-36 x^{2}+60 x+3=m$ (1).
Yêu cầu bài toán là phương trình $(1)$ có ba nghiệm dương phân biệt.
Xét hàm số $h(x)=4 x^{3}-36 x^{2}+60 x+3$
$h^{\prime}(x)=12 x^{2}-72 x+60$ suy ra $h^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=5\end{array}\right.$.
Bảng biến thiên của hàm số $y=h(x)$
Đáp án B.