Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+bx+2$ và hàm số $g\left( x \right)=c{{x}^{3}}+d{{x}^{2}}-2x$ (với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ ) là các hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi ${S_1;{S_2}}$ là diện tích các hình phẳng tô màu trong hình vẽ, biết ${{S}_{1}}=\dfrac{97}{60}$. Tính ${S_2}$.
A. $\dfrac{143}{60}$.
B. $\dfrac{133}{60}$.
C. $\dfrac{153}{60}$.
D. $\dfrac{163}{60}$.
B. $\dfrac{133}{60}$.
C. $\dfrac{153}{60}$.
D. $\dfrac{163}{60}$.
Ta thấy các nghiệm của phương trình $g\left( x \right)=0$ là các điểm cực trị của hàm số $f\left( x \right)$.
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=kg\left( x \right)\left( k>0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
4a=kc \\
1=kd \\
-2=-2k \\
b=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
4a=c \\
d=1 \\
k=1 \\
b=0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2 \\
g\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \\
\end{matrix} \right.$
Ta có $g\left( 1 \right)=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{4}\Rightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+2x+2$
Khi đó ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{-1}{\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+2x+2 \right)\text{d}x}=\dfrac{133}{60}$.
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=kg\left( x \right)\left( k>0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
4a=kc \\
1=kd \\
-2=-2k \\
b=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
4a=c \\
d=1 \\
k=1 \\
b=0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2 \\
g\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \\
\end{matrix} \right.$
Ta có $g\left( 1 \right)=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{4}\Rightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+2x+2$
Khi đó ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{-1}{\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+2x+2 \right)\text{d}x}=\dfrac{133}{60}$.
Đáp án B.