Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}.$ Đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$ như hình vẽ dưới đây
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+2019.$ Trong các mệnh đề sau:
$\left( I \right)g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right).$
$\left( II \right)\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right).$
$\left( III \right)$ Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -3;-1 \right).$
$\left( IV \right)\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}.$
Số mệnh đề đúng là
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+2019.$ Trong các mệnh đề sau:
$\left( I \right)g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right).$
$\left( II \right)\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right).$
$\left( III \right)$ Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -3;-1 \right).$
$\left( IV \right)\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}.$
Số mệnh đề đúng là
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.
Ta có: $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2} \right)=f'\left( x \right)-h\left( x \right).$
Ta vẽ đồ thị hàm số $h\left( x \right)={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$ và $y=f'\left( x \right)$ trên cùng một hệ trục:
Đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ có đỉnh $I\left( -1;-2 \right)$ và đi qua các điểm $\left( -3;-3 \right),\left( 1;1 \right).$
Từ bảng biến thiên suy ra
$\left( I \right)$ $g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right).$ Đúng.
$\left( II \right)$ $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right).$ Đúng.
$\left( III \right)$ Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -3;-1 \right).$ Đúng.
$\left( IV \right)$ $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}.$ Đúng.
Vậy cả bốn mệnh đề đều đúng.
Ta vẽ đồ thị hàm số $h\left( x \right)={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$ và $y=f'\left( x \right)$ trên cùng một hệ trục:
Đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ có đỉnh $I\left( -1;-2 \right)$ và đi qua các điểm $\left( -3;-3 \right),\left( 1;1 \right).$
$\left( I \right)$ $g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right).$ Đúng.
$\left( II \right)$ $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right).$ Đúng.
$\left( III \right)$ Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -3;-1 \right).$ Đúng.
$\left( IV \right)$ $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} \left\{ g\left( -3 \right);g\left( 1 \right) \right\}.$ Đúng.
Vậy cả bốn mệnh đề đều đúng.
Đáp án D.