Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn ${f}'\left( x \right)=2x-1$ và $f\left( 3 \right)=5$. Giả sử phương trình $f\left( x \right)=999$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$. Tính tổng $S=\log \left| {{x}_{1}} \right|+\log \left| {{x}_{2}} \right|$.
A. 5
B. 999
C. 3
D. 1001
A. 5
B. 999
C. 3
D. 1001
Phương pháp giải:
- Tìm hàm số $f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx}$.
- Xét phương trình $f\left( x \right)=999$, sử dụng định lí Vi-ét tìm ${{x}_{1}}{{x}_{2}}$ và tính S.
Giải chi tiết:
Ta có $f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx}=\int{\left( 2x-1 \right)dx}={{x}^{2}}-x+C$.
Mà $f\left( 3 \right)=5\Rightarrow {{3}^{2}}-3+C=5\Leftrightarrow C=-1$.
Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{2}}-x-1$.
Xét phương trình $f\left( x \right)=999\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-1=999\Rightarrow {{x}^{2}}-x-1000=0$, giả sử phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$. Áp dụng định lí Vi-ét ta có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1000$.
Khi đó ta có $S=\log \left| {{x}_{1}} \right|+\log \left| {{x}_{2}} \right|=\log \left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=\log 1000=3$.
- Tìm hàm số $f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx}$.
- Xét phương trình $f\left( x \right)=999$, sử dụng định lí Vi-ét tìm ${{x}_{1}}{{x}_{2}}$ và tính S.
Giải chi tiết:
Ta có $f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx}=\int{\left( 2x-1 \right)dx}={{x}^{2}}-x+C$.
Mà $f\left( 3 \right)=5\Rightarrow {{3}^{2}}-3+C=5\Leftrightarrow C=-1$.
Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{2}}-x-1$.
Xét phương trình $f\left( x \right)=999\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-1=999\Rightarrow {{x}^{2}}-x-1000=0$, giả sử phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$. Áp dụng định lí Vi-ét ta có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1000$.
Khi đó ta có $S=\log \left| {{x}_{1}} \right|+\log \left| {{x}_{2}} \right|=\log \left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=\log 1000=3$.
Đáp án C.