Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định, có đạo hàm, liên tục và đổng biến trên $\left[ 1;4 \right]$ thỏa mãn
$x+2xf\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}},\forall x\in \left[ 1;4 \right],f\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2}.$ Giá trị $f\left( 4 \right)$ bằng
A. $\dfrac{361}{18}$
B. $\dfrac{391}{18}$
C. $\dfrac{381}{18}$
D. $\dfrac{371}{18}$
$x+2xf\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}},\forall x\in \left[ 1;4 \right],f\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2}.$ Giá trị $f\left( 4 \right)$ bằng
A. $\dfrac{361}{18}$
B. $\dfrac{391}{18}$
C. $\dfrac{381}{18}$
D. $\dfrac{371}{18}$
Từ giả thiết ta suy ra $f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left[ 1;4 \right]$ và $f\left( x \right)>0,\forall x\in \left[ 1;4 \right]$ nên
$x+2xf\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow \sqrt{x\left( 1+2f\left( x \right) \right)}=f'\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{f'\left( x \right)}{\sqrt{1+2f\left( x \right)}}=\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{1+2f\left( x \right)} \right)'=\sqrt{x}\Leftrightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{\left( \sqrt{1+2f\left( x \right)} \right)'dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\sqrt{x}dx}.$
$\Leftrightarrow \sqrt{1+2f\left( x \right)}=\dfrac{2}{3}.x\sqrt{x}+C,\left( * \right)$
Thay $x=1$ vào (*) ta được $\Leftrightarrow \sqrt{1+2f\left( 1 \right)}=\dfrac{2}{3}.1\sqrt{1}+C\Leftrightarrow C=\dfrac{4}{3}.$
Thay $x=4,C=\dfrac{4}{3}$ vào (*) ta được $\Leftrightarrow \sqrt{1+2f\left( 4 \right)}=\dfrac{2}{3}.4\sqrt{4}+\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow f\left( 4 \right)=\dfrac{391}{18}.$
$x+2xf\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow \sqrt{x\left( 1+2f\left( x \right) \right)}=f'\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{f'\left( x \right)}{\sqrt{1+2f\left( x \right)}}=\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{1+2f\left( x \right)} \right)'=\sqrt{x}\Leftrightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{\left( \sqrt{1+2f\left( x \right)} \right)'dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\sqrt{x}dx}.$
$\Leftrightarrow \sqrt{1+2f\left( x \right)}=\dfrac{2}{3}.x\sqrt{x}+C,\left( * \right)$
Thay $x=1$ vào (*) ta được $\Leftrightarrow \sqrt{1+2f\left( 1 \right)}=\dfrac{2}{3}.1\sqrt{1}+C\Leftrightarrow C=\dfrac{4}{3}.$
Thay $x=4,C=\dfrac{4}{3}$ vào (*) ta được $\Leftrightarrow \sqrt{1+2f\left( 4 \right)}=\dfrac{2}{3}.4\sqrt{4}+\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow f\left( 4 \right)=\dfrac{391}{18}.$
Đáp án B.