Cho hàm số $f\left(x\right)=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}.$ Cho điểm $M(a;b)$ sao cho có đúng hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x...

Cách giải:
Giả sử điểm $A(t;{\displaystyle \frac{t^2+1}{t}})(t\ne 0)$ thuộc đồ thị hàm số $y=f\left(x\right).$
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x}}$ nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại $A$ là: $y={\displaystyle \frac{t^2-1}{t}}(x-t)+{\displaystyle \frac{t^2+1}{t}}$
Tiếp tuyến trên đi qua $M$ khi và chỉ khi:
$b={\displaystyle \frac{t^2-1}{t}}(a-t)+{\displaystyle \frac{t^2+1}{t}}\iff (a-b)t^2+2t-a=0(\ast )$
Yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2$ khác 0 thỏa mãn $f^{\prime }\left(t_1\right).f^{\prime }\left(t_2\right)=-1$ hay $\{\begin{array}{rl}& a\ne b\\ & a\ne 0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1+a(a-b)>0\\ & {\displaystyle \frac{t_1^2-1}{t_1}}.{\displaystyle \frac{t_2^2-1}{t_2}}=-1\end{array}$
Theo định lí Vi-ét ta có $t_1+t_2={\displaystyle \frac{2}{b-a}},t_1{t}_2={\displaystyle \frac{a}{b-a}}.$ Suy ra
${\displaystyle \frac{t_1^2-1}{t_2}}=-17\iff 2t_1^2{t}_2^2-(t_1^2+t_2^2)+1=0$
$\iff {\displaystyle \frac{2a^2}{{(a-b)}^2}}+{\displaystyle \frac{2a}{b-a}}-{\displaystyle \frac{4}{{(a-b)}^2}}+1=0$
$\iff 2a^2+2a(b-a(-4+{(a-b)}^2))=0$
$\iff a^2+b^2=4$
Do $a\ne 0$ nên từ $a^2+b^2=4$ ta suy ra $\left|b\right|<2,$ do đó: $a^2+1>2\left|a\right|>\left|ab\right|\ge ab.$
Như vậy tập hợp các điểm $M(a;b)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\{\begin{array}{rl}& a^2+b^2=4\\ & a\ne b\\ & a\ne 0\end{array}$
Tức là đường tròn tâm $O,$ bán kính 2 trừ bỏ đi các điểm $B(0;2),C(0;-2),D(\sqrt{2};\sqrt{2})$ và $E(-\sqrt{2};-\sqrt{2}).$