Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sqrt[3]{f\left( x \right)+m} \right)={{x}^{3}}-m$ có nghiệm thuộc $\left[ 1;2 \right]?$
A. 15.
B. 18.
C. 17.
D. 16.
A. 15.
B. 18.
C. 17.
D. 16.
Đặt $u=\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}\Rightarrow f\left( x \right)={{u}^{3}}-m\left( 1 \right).$
Khi đó $f\left( \sqrt[3]{f\left( x \right)+m} \right)={{x}^{3}}-m\Leftrightarrow f\left( u \right)={{x}^{3}}-m\left( 2 \right).$
Lấy $\left( 1 \right)-\left( 2 \right)$ ta được $f\left( u \right)-f\left( x \right)={{u}^{3}}-{{x}^{3}}\Leftrightarrow f\left( u \right)+{{u}^{3}}=f\left( x \right)+{{x}^{3}}\left( * \right).$
Xét $h\left( t \right)=f\left( t \right)+{{t}^{3}}={{t}^{5}}+4{{t}^{3}}-4m\Rightarrow h'\left( t \right)=5{{t}^{4}}+12{{t}^{2}}\ge 0\forall \text{t}\text{.}$
Kết hợp $\left( * \right),$ yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-m$ có nghiệm thuộc $\left[ 1;2 \right].$
$\Leftrightarrow {{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m={{x}^{3}}-m\Leftrightarrow g\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}=3m$ có nghiệm thuộc $\left[ 1;2 \right].$
Mà $g'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}\ge 0\forall x\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow g\left( 1 \right)\le 3m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow 3\le 3m\le 48\Leftrightarrow 1\le m\le 16$.
Khi đó $f\left( \sqrt[3]{f\left( x \right)+m} \right)={{x}^{3}}-m\Leftrightarrow f\left( u \right)={{x}^{3}}-m\left( 2 \right).$
Lấy $\left( 1 \right)-\left( 2 \right)$ ta được $f\left( u \right)-f\left( x \right)={{u}^{3}}-{{x}^{3}}\Leftrightarrow f\left( u \right)+{{u}^{3}}=f\left( x \right)+{{x}^{3}}\left( * \right).$
Xét $h\left( t \right)=f\left( t \right)+{{t}^{3}}={{t}^{5}}+4{{t}^{3}}-4m\Rightarrow h'\left( t \right)=5{{t}^{4}}+12{{t}^{2}}\ge 0\forall \text{t}\text{.}$
Kết hợp $\left( * \right),$ yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-m$ có nghiệm thuộc $\left[ 1;2 \right].$
$\Leftrightarrow {{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m={{x}^{3}}-m\Leftrightarrow g\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}=3m$ có nghiệm thuộc $\left[ 1;2 \right].$
Mà $g'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}\ge 0\forall x\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow g\left( 1 \right)\le 3m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow 3\le 3m\le 48\Leftrightarrow 1\le m\le 16$.
Đáp án D.