Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sqrt[3]{f\left( x...

Đặt $u=\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}\Leftrightarrow {{u}^{3}}=f\left( x \right)+m\Leftrightarrow {{u}^{3}}-m=f\left( x \right).$
Ta có hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( u \right)={{x}^{3}}-m \\
& f\left( x \right)={{u}^{3}}-m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( u \right)={{x}^{3}}-{{u}^{3}}\Leftrightarrow f\left( u \right)+{{u}^{3}}=f\left( x \right)+{{x}^{3}}\left( * \right)$
Xét $g\left( t \right)=f\left( t \right)+{{t}^{3}},g'\left( t \right)=f'\left( t \right)+3{{t}^{2}}=5{{t}^{4}}+12{{t}^{2}}\ge 0,\forall t\in \mathbb{R},$ suy ra hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$\left( * \right)\Leftrightarrow g\left( u \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow u=x.$
Suy ra: $x=\sqrt[3]{g\left( x \right)+m}\Leftrightarrow {{x}^{3}}=f\left( x \right)+m\Leftrightarrow {{x}^{3}}={{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m+m$
$\Leftrightarrow 3m={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}.$
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}.$ Để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$ thì $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)\le 3m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} h\left( x \right).$
Ta có: $h'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}>0,\forall x\in \left[ 1;2 \right],$ suy ra $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;2 \right].$
Suy ra: $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=h\left( 1 \right)=3,\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} h=h\left( 2 \right)={{2}^{5}}+{{2.2}^{3}}=32+16=48.$
Vậy: $3\le 3m\le 48\Leftrightarrow 1\le m\le 16.$