Cho hàm số ${f\left( x \right) = {x^4} - \left( {m + 2}...

Ta có $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-3\left( m+2 \right){{x}^{2}}+m$
Điều kiện cần: Gọi $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà họ đường cong $\left( {{C}_{m}} \right)$ luôn đi qua $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& A\left( -1;6 \right) \\
& A\left( 1;2 \right) \\
& A\left( 0;3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=1$ và khi đó $x=1$ cũng là điểm cực trị của hàm số
$\Rightarrow f'\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow 4-3\left( m+2 \right)+m=0\Leftrightarrow m=-1$
Điều kiện đủ: Với $m=-1$ hàm số có dạng: $f\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}-x+3$ $\Rightarrow f'\left( x \right)=4{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}-1$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& 4{{x}^{2}}+x+1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên

Vậy $m=-1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán khi đó $f\left( 3 \right)={{3}^{4}}{{3}^{3}}3+3=54$