Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m.$ Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ sao cho...

Xét hàm $f\left( x \right):$
TXĐ: $D=\mathbb{R}.$
Có: $f'\left( x \right)=4{{x}^{2}}-4x;f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\notin \left[ 1;2 \right] \\
& x=1\in \left[ 1;2 \right] \\
& x=-1\notin \left[ 1;2 \right] \\
\end{aligned} \right.$
$f\left( 1 \right)=m-1;f\left( 2 \right)=m+8.$
Có $f\left( 2 \right)>f\left( 1 \right)\Rightarrow \underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Max}} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=m+8;\underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Min}} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=m-1.$
TH1: $\underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Max}} \left| f\left( x \right) \right|=\left| f\left( 2 \right) \right|=\left| m+8 \right|=m+8;\underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Min}} \left| f\left( x \right) \right|=\left| f\left( 1 \right) \right|=\left| m-1 \right|=m-1$
$\Rightarrow \underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Max}} \left| f\left( x \right) \right|+\underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Min}} \left| f\left( x \right) \right|\ge 10\Leftrightarrow m+8+m-1\ge 10\Leftrightarrow m\ge \dfrac{3}{2}.$
Kết hợp với $m\ge 1$ ta được $m\ge \dfrac{3}{2}.$
TH2: $m+8\le 0\Leftrightarrow m\le -8.$
Khi đó: $\underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Max}} \left| f\left( x \right) \right|=\left| f\left( 1 \right) \right|=\left| m-1 \right|=1-m;\underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Min}} \left| f\left( x \right) \right|=\left| f\left( 2 \right) \right|=\left| m+8 \right|=-m-8$
$\Rightarrow \underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Max}} \left| f\left( x \right) \right|+\underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Min}} \left| f\left( x \right) \right|\ge 10\Leftrightarrow -7-2m\ge 10\Leftrightarrow m\le -\dfrac{17}{2}.$
Kết hợp với $m\le -8$ ta được $m\le -\dfrac{17}{2}.$
TH3: $m-1<0<m+8\Leftrightarrow -8<m<1$
Khi đó: $\underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Max}} \left| f\left( x \right) \right|=Max\left\{ \left| m-1 \right|;\left| m+8 \right| \right\};\underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Min}} \left| f\left( x \right) \right|=0$
$\Rightarrow \underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Max}} \left| f\left( x \right) \right|+\underset{x\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{Min}} \left| f\left( x \right) \right|\ge 10\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| m+8 \right|\ge 10 \\
& \left| m+8 \right|\ge \left| m-1 \right| \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| m-1 \right|\ge 10 \\
& \left| m+8 \right|<\left| m-1 \right| \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m\le -18 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ge -\dfrac{63}{18} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 11 \\
& m\le -9 \\
\end{aligned} \right. \\
& m<-\dfrac{63}{18} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m\le -9 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với $-8<m<1$ ta được $m\in \varnothing .$
Từ 3 trường hợp trên kết hợp với điều kiện $m\in \left[ -10;10 \right]$ ta được $m\in \left[ -10;-\dfrac{17}{2} \right]\cup \left[ \dfrac{3}{2};10 \right].$
Vậy các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $m\in \left\{ -10;-9;2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right\}$.
Do đó có 11 giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.