Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)$ đồng biến trên $\left( 5;\text{+}\infty \right)$ ?
A. 2.
B. 3.
C. Vô số.
D. 5.
A. 2.
B. 3.
C. Vô số.
D. 5.
Ta có $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4x$.
Với $\forall x\ne m$, ta có: $g'\left( x \right)=3\dfrac{\left( x-m \right)}{\left| x-m \right|}f'\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)$
$=3\dfrac{\left( x-m \right)}{\left| x-m \right|}\left[ 4{{\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)}^{3}}+4\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right) \right]$.
Ta thấy $g'\left( x \right)$ không xác định khi $x=m$.
Ta có bảng biến thiên sau:
Vậy hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)$ đồng biến trên $\left( m;\text{+}\infty \right)$.
Để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)$ đồng biến trên $\left( 5;\text{+}\infty \right)$ ta cần có $m\le 5$, mà $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1 ; 2; 3 ;4 ; 5 \right\}$.
Vậy có 5 giá trị $m$ cần tìm.
Với $\forall x\ne m$, ta có: $g'\left( x \right)=3\dfrac{\left( x-m \right)}{\left| x-m \right|}f'\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)$
$=3\dfrac{\left( x-m \right)}{\left| x-m \right|}\left[ 4{{\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)}^{3}}+4\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right) \right]$.
Ta thấy $g'\left( x \right)$ không xác định khi $x=m$.
Ta có bảng biến thiên sau:
Để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)$ đồng biến trên $\left( 5;\text{+}\infty \right)$ ta cần có $m\le 5$, mà $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1 ; 2; 3 ;4 ; 5 \right\}$.
Vậy có 5 giá trị $m$ cần tìm.
Đáp án D.