Cho hàm số $f (x) = x - 3 \sqrt[3]{x + 1} + m,$ đặt $P=\underset{\left[ -1; 7 \right]}{\mathop{\max }} {{\left[ f\left(x \right)...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = x - 3 \sqrt[3]{x + 1} + m,

đặt

P = max_{[- 1; 7]} {[f (x)]}^{2} + min_{[- 1; 7]} {[f (x)]}^{2} .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

để giá trị của

P

không vượt quá 26?
A. 6.
B. 7.
C. 4.
D. 5.

Xét

f (x) = x - 3 \sqrt[3]{x + 1} + m

liên tục trên

R .

Với

x \neq - 1

ta có

f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{{(x + 1)}^{2}}}

f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = - 2; x = 0

Có

f (- 1) = m - 1; f (0) = m - 3; f (7) = m + 1 \Rightarrow max_{[- 1; 7]} f (x) = m + 1; min_{[- 1; 7]} f (x) = m - 3

TH1: Với

(m + 1) (m - 3) \leq 0 \Leftrightarrow m \in [- 1; 3] \Rightarrow {\begin{aligned} 0 \leq m + 1 \leq 4 \\ - 4 \leq m - 3 \leq 0 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} 0 \leq {(m + 1)}^{2} \leq 16 \\ 0 \leq {(m - 3)}^{2} \leq 16 \end{aligned}

Khi đó ta có

min_{[- 1; 7]} {[f (x)]}^{2} = 0; max_{[- 1; 7]} {[f (x)]}^{2} = max {{(m + 1)}^{2}; {(m - 3)}^{2}} \leq 16 \Rightarrow P \leq 16.

Vậy các giá trị

m \in [- 1; 3]

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: Với

(m + 1) (m - 3) > 0 \Leftrightarrow m \in (- \infty - 1) \cup (3; + \infty) \Rightarrow P = {(m + 1)}^{2} + {(m - 3)}^{2} = 2 m^{2} - 4 m + 10

Theo bài

P \leq 26 \Leftrightarrow 2 m^{2} - 4 m + 10 \leq 26 \Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 8 \leq 0 \Leftrightarrow m \in [- 2; 4] \Rightarrow m \in [- 2; 1) \cup (3; 4]

Kết hợp hai trường hợp suy ra

m \in [- 2; 4] \Rightarrow

có 7 giá trị nguyên của

m

.

Đáp án B.

Cho hàm số f(x)=x−3x+13+m, đặt $P=\underset{\left[ -1; 7 \right]}{\mathop{\max }} {{\left[ f\left(x \right)...