Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=x-3\sqrt[3]{x+1}+m,$ đặt $P=\underset{\left[ -1;7 \right]}{\mathop{\max }} {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+\underset{\left[ -1;7 \right]}{\mathop{\min }} {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để giá trị của $P$ không vượt quá 26?
A. 6.
B. 7.
C. 4.
D. 5.
A. 6.
B. 7.
C. 4.
D. 5.
Xét $f\left( x \right)=x-3\sqrt[3]{x+1}+m$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Với $x\ne -1$ ta có $f'\left( x \right)=1-\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}$
$f'\left( x \right)=0\Rightarrow x=-2;x=0$
Có $f\left( -1 \right)=m-1;f\left( 0 \right)=m-3;f\left( 7 \right)=m+1\Rightarrow \underset{\left[ -1;7 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=m+1;\underset{\left[ -1;7 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=m-3$
TH1: Với $\left( m+1 \right)\left( m-3 \right)\le 0\Leftrightarrow m\in \left[ -1;3 \right]\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0\le m+1\le 4 \\
& -4\le m-3\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0\le {{\left( m+1 \right)}^{2}}\le 16 \\
& 0\le {{\left( m-3 \right)}^{2}}\le 16 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có $\underset{\left[ -1;7 \right]}{\mathop{\min }} {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}=0;\underset{\left[ -1;7 \right]}{\mathop{\max }} {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}=\max \left\{ {{\left( m+1 \right)}^{2}};{{\left( m-3 \right)}^{2}} \right\}\le 16\Rightarrow P\le 16.$ Vậy các giá trị $m\in \left[ -1;3 \right]$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: Với $\left( m+1 \right)\left( m-3 \right)>0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty -1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)\Rightarrow P={{\left( m+1 \right)}^{2}}+{{\left( m-3 \right)}^{2}}=2{{m}^{2}}-4m+10$
Theo bài $P\le 26\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+10\le 26\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-8\le 0\Leftrightarrow m\in \left[ -2;4 \right]\Rightarrow m\in \left[ -2;1 \right)\cup \left( 3;4 \right]$
Kết hợp hai trường hợp suy ra $m\in \left[ -2;4 \right]\Rightarrow $ có 7 giá trị nguyên của $m$.
$f'\left( x \right)=0\Rightarrow x=-2;x=0$
Có $f\left( -1 \right)=m-1;f\left( 0 \right)=m-3;f\left( 7 \right)=m+1\Rightarrow \underset{\left[ -1;7 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=m+1;\underset{\left[ -1;7 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=m-3$
TH1: Với $\left( m+1 \right)\left( m-3 \right)\le 0\Leftrightarrow m\in \left[ -1;3 \right]\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0\le m+1\le 4 \\
& -4\le m-3\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0\le {{\left( m+1 \right)}^{2}}\le 16 \\
& 0\le {{\left( m-3 \right)}^{2}}\le 16 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có $\underset{\left[ -1;7 \right]}{\mathop{\min }} {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}=0;\underset{\left[ -1;7 \right]}{\mathop{\max }} {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}=\max \left\{ {{\left( m+1 \right)}^{2}};{{\left( m-3 \right)}^{2}} \right\}\le 16\Rightarrow P\le 16.$ Vậy các giá trị $m\in \left[ -1;3 \right]$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: Với $\left( m+1 \right)\left( m-3 \right)>0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty -1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)\Rightarrow P={{\left( m+1 \right)}^{2}}+{{\left( m-3 \right)}^{2}}=2{{m}^{2}}-4m+10$
Theo bài $P\le 26\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+10\le 26\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-8\le 0\Leftrightarrow m\in \left[ -2;4 \right]\Rightarrow m\in \left[ -2;1 \right)\cup \left( 3;4 \right]$
Kết hợp hai trường hợp suy ra $m\in \left[ -2;4 \right]\Rightarrow $ có 7 giá trị nguyên của $m$.
Đáp án B.