Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${f\left( x \right) = {x^3} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + \left( {2m + 3} \right)x}$. Có bao nhiêu giá trị của ${m}$ để đồ thị hàm số ${y = f\left( {\left| x \right|} \right)}$ có hai điểm cực đại và khoảng cách giữa hai điểm cực đại bằng ${2}$.
A. ${1}$.
B. ${0}$.
C. ${2}$.
D. ${4}$.
A. ${1}$.
B. ${0}$.
C. ${2}$.
D. ${4}$.
Nhận xét: Hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là một hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung. Mặt khác hệ số của ${{x}^{3}}$ là dương, nên đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị và hoành độ điểm cực đại luôn nhỏ hơn hoành độ điểm cực tiểu.
Do đó để đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có hai điểm cực đại khi và chỉ khi hàm số $f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ và thỏa mãn $0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ tức là:
$+f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+2m+3=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$, hay $\Delta '={{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}-6m-9>0$
+ Hai nghiệm thỏa mãn $0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ hay $\left\{ \begin{aligned}
& S=\dfrac{{{m}^{2}}+1}{3}>0 \\
& P=\dfrac{2m+3}{3}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>\dfrac{-3}{2}\left( 2 \right)$
Mặt khác, theo giá thiết khoảng cách giữa hai điểm cực đại bằng 2. Như phân tích ở trên, đồ thị hàm số
$y=f\left( x \right)$ nhận trục tung làm trục đối xứng, điểm cực đại của hàm số $f\left( x \right)$ nhỏ hơn điểm cực tiểu của hàm số $f\left( x \right),$ do đó khi lấy đối xứng qua trục tung, ta nhận thấy được khoảng cách giữa hai điểm cực đại chính bằng hai lần hoành độ điểm cực đại hàm số $f\left( x \right)$ nghĩa là ${{x}_{1}}=1$
Với ${{x}_{1}}=1$ là nghiệm của phương trình $f'\left( x \right)=0$ nên ta có: $-2{{m}^{2}}+2m+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$
Đối chiếu điều kiện (1) và (2), ta nhận $m=2$, thật vậy.
Với$m=-1\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right., $ khi đó$ {{x}_{1}}=1\Rightarrow {{x}_{1}}>{{x}_{2}} $, tức là $ {{x}_{1}}$ ai không là điểm cực đại (loại).
Với $m=2\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=\dfrac{7}{3} \\
\end{aligned} \right.$, thỏa mãn điều kiện bài toán (nhận)
Do đó để đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có hai điểm cực đại khi và chỉ khi hàm số $f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ và thỏa mãn $0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ tức là:
$+f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+2m+3=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$, hay $\Delta '={{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}-6m-9>0$
+ Hai nghiệm thỏa mãn $0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ hay $\left\{ \begin{aligned}
& S=\dfrac{{{m}^{2}}+1}{3}>0 \\
& P=\dfrac{2m+3}{3}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>\dfrac{-3}{2}\left( 2 \right)$
Mặt khác, theo giá thiết khoảng cách giữa hai điểm cực đại bằng 2. Như phân tích ở trên, đồ thị hàm số
$y=f\left( x \right)$ nhận trục tung làm trục đối xứng, điểm cực đại của hàm số $f\left( x \right)$ nhỏ hơn điểm cực tiểu của hàm số $f\left( x \right),$ do đó khi lấy đối xứng qua trục tung, ta nhận thấy được khoảng cách giữa hai điểm cực đại chính bằng hai lần hoành độ điểm cực đại hàm số $f\left( x \right)$ nghĩa là ${{x}_{1}}=1$
Với ${{x}_{1}}=1$ là nghiệm của phương trình $f'\left( x \right)=0$ nên ta có: $-2{{m}^{2}}+2m+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$
Đối chiếu điều kiện (1) và (2), ta nhận $m=2$, thật vậy.
Với$m=-1\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right., $ khi đó$ {{x}_{1}}=1\Rightarrow {{x}_{1}}>{{x}_{2}} $, tức là $ {{x}_{1}}$ ai không là điểm cực đại (loại).
Với $m=2\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=\dfrac{7}{3} \\
\end{aligned} \right.$, thỏa mãn điều kiện bài toán (nhận)
Đáp án A.