Cho hàm số ${f\left( x \right) = {x^3} - \left( {{m^2} + 1}...

Nhận xét: Hàm số là một hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung. Mặt khác hệ số của là dương, nên đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị và hoành độ điểm cực đại luôn nhỏ hơn hoành độ điểm cực tiểu.
Do đó để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại khi và chỉ khi hàm số có hai điểm cực trị và thỏa mãn tức là:
có 2 nghiệm phân biệt , hay
+ Hai nghiệm thỏa mãn hay
Mặt khác, theo giá thiết khoảng cách giữa hai điểm cực đại bằng 2. Như phân tích ở trên, đồ thị hàm số
nhận trục tung làm trục đối xứng, điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn điểm cực tiểu của hàm số do đó khi lấy đối xứng qua trục tung, ta nhận thấy được khoảng cách giữa hai điểm cực đại chính bằng hai lần hoành độ điểm cực đại hàm số nghĩa là
Với là nghiệm của phương trình nên ta có:
Đối chiếu điều kiện (1) và (2), ta nhận , thật vậy.
Với khi đó, tức là ai không là điểm cực đại (loại).
Với , thỏa mãn điều kiện bài toán (nhận)